曲線$C$を$y=e^x$とする．$C$上の点A$_0(0,\ 1)$における接線と$x$軸の交点をB$_1(b_1,\ 0)$とし，$C$上の点A$_1(b_1,\ e^{b_1})$における接線と$x$軸の交点をB$_2(b_2,\ 0)$とする．これをくりかえし，$C$上の点A$_n(b_n,\ e^{b_n})$における接線と$x$軸の交点をB$_{n+1}(b_{n+1},\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_1$を求めよ．
(2)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め，一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\triangle$B$_n$A$_n$B$_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty S_n$を求めよ．ただし，B$_0$は原点とする．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ |x-y| \leqq 1,\quad |x| \leqq 3 \]
の表す$xy$平面上の領域$D$を図示せよ．
(2)実数$a$に対して，放物線$y=(x-a)^2$が(1)の領域$D$と共通点をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)実数$a$に対して，連立不等式
\[ |x-y| \leqq 1,\quad |x| \leqq 3,\quad y \geqq (x-a)^2 \]
の表す$xy$平面上の領域$E$の面積を$a$を用いて表せ．ただし，$a \leqq 1$とする．

$xy$平面上の原点を中心として半径1の円$C$を考える．$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とし，$C$上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$をPとする．Pで$C$に接し，さらに$y$軸と接する円でその中心が円$C$の内部にあるものを$S$とし，その中心Qの座標を$(u,\ v)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$u$と$v$をそれぞれ$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$としたとき，点Qの軌跡の式を求めよ．さらに，その軌跡を図示せよ．
(3)円$S$の面積を$D(\theta)$とするとき，次の値を求めよ．
\[ \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \frac{D(\theta)}{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta \right)^2} \]

実数上の関数$f(x),\ g(x)$を次のように定義する．
\[ f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{2},\quad g(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2} \]
ここで，$a$は$a>1$をみたす実数である．

(1)関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(2)この2つのグラフと2つの直線$x=0,\ x=3$とで囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた面積を$S(a)$とするとき，$2 \leqq a \leqq 5$での$S(a)$の最大値と最小値とを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ |x-y| \leqq 1, |x| \leqq 3 \]
の表す$xy$平面上の領域$D$を図示せよ．
(2)実数$a$に対して，放物線$y=(x-a)^2$が(1)の領域$D$と共通点をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)実数$a$に対して，連立不等式
\[ |x-y| \leqq 1, |x| \leqq 3, y \geqq (x-a)^2 \]
の表す$xy$平面上の領域$E$の面積を$a$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．

右図のような三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$を考える．
\img{177_2307_2010_1}{10}


(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{AD}=10$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形 \\
$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となると \\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形 \\
$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正 \\
三角形となりうることを示せ．

$xy$平面上に直線$\ell:y=x+2$と曲線$C:y=1-x^2$がある．直線$\ell$上を動く点Pから曲線$C$に異なる2本の接線を引き，接点をQ，Rとする．線分QRの中点をMとするとき，次の問いに答えよ．

(1)点Pの$x$座標を$t$とし，2点Q，Rの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=2t$および$\alpha\beta=-(t+1)$を示せ．
(2)点Mの軌跡は曲線$y=-2x^2-x$であることを示せ．
(3)点Mの軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

1辺の長さが2の正三角形ABCがある．辺ABの中点をP，線分PBの中点をQ，辺BCを$2:1$に内分する点をR，線分PRと線分CQの交点をSとする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{AS}}|$の値を求めよ．
(5)三角形APSの面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．