曲線$y=x^2$を$C$とする．$k>0$について，直線$y=kx$を$\ell_1$とし，原点を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．

(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．

曲線$y=x^2$を$C$とする．$k>0$について，直線$y=kx$を$\ell_1$とし，原点を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．

(1)曲線$C$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell_1$とで囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$をそれぞれ$k$の式で表しなさい．
(3)$S_1+S_2$の最小値を求めなさい．

$k$を実数とする．Oを原点とする座標平面上の曲線$C:y=\log x -k$について，$C$の接線のうちOを通るものを$\ell_1$とし，その接点をPとする．以下の問いに答えよ．

(1)$\ell_1$の方程式を，$k$を用いて表せ．
(2)点Pにおける$C$の法線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と$x$軸との交点の$x$座標を$\alpha$とおく．$\alpha$を$k$を用いて表せ．さらに，$\alpha$が最小となる$k$の値および$\alpha$の最小値を求めよ．
(3)$k$を(2)で求めた値とするとき，$C$と$\ell_1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C_1:y=x^2$上の点A$(a,\ a^2)$における接線が曲線$C_2:y=x^2-4$と交わる点をB，Cとする．ただし，Bの$x$座標はCの$x$座標より小さいとする．以下の問いに答えよ．

(1)線分BCの中点MおよびCの座標を$a$を用いて表せ．
(2)Mを通り$y$軸に平行な直線，線分MCおよび曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

原点Oを中心として半径1の円の第1象限の部分$C$について考える．$C$上に3点A$\displaystyle \biggl( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)$，P$(1,\ 0)$，Q$(0,\ 1)$をとる．$s+t=1$を満たす$s,\ t \ (0<s<1,\ 0<t<1)$に対し，弧AQ上に点Xを2つのベクトル
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ．

$xyz$空間において，底面の半径が2，高さが4である直円柱
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
0 \leqq z \leqq 4
\end{array}
\right. \]
を考える．この円柱内で，さらに
\[ \left\{
\begin{array}{l}
z \leqq (x-2)^2 \\
z \leqq y^2
\end{array}
\right. \]
を満たす点$(x,\ y,\ z)$からなる立体を$V$とする．次の問いに答えよ．

(1)立体$V$を平面$x=t \ (-2 \leqq t \leqq 2)$で切った切り口の面積を$A(t)$とする．$A(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)立体$V$の体積を求めよ．

放物線$y=-x^2+6x-7$を$C_1$とし，$C_1$の頂点をA，$C_1$上の点$(1,\ -2)$をBとする．点A，Bを通る直線を$\ell$とし，点A，Bを通る放物線$y=ax^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は実数，$a>0$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Aの座標を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$b$と$c$を$a$を用いて表せ．
(4)$C_2$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)直線$2x+y=16 \cdots \maru{1},\ 2x+3y=24 \cdots \maru{2}$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線\maru{1}と\maru{2}との交点の座標を求めよ．
(3)4つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．