点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．

$a$を正の実数とし，$b$を負の実数とする．$xy$平面上の直線$C_1:y=x$と放物線$C_2:y=ax^2+bx$を考える．$C_1$と$C_2$は2点で交わっており，$C_1$と$C_2$の囲む図形の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a$を$S$と$b$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を$(p_1,\ q_1) ,\ (p_2,\ q_2) \ (\text{ここで}p_1<p_2)$とし，$L=p_2-p_1$とおく．$p_1 \leqq x \leqq p_2$における$ax^2+bx$の最小値の絶対値を$T$とする．$S$の値が一定になるように$a$と$b$を変化させたとき，$\displaystyle \frac{T-L}{L^3}$の最小値を$S$を用いて表せ．

$xy$平面上で曲線$C:y=\log x$を考える．$p$を正の実数とし，$C$上の点$(p,\ \log p)$における接線を$\ell_p$で表す．以下の問に答えよ．

(1)接線$\ell_p$の方程式を求めよ．
(2)$0<p<1$の範囲で$p$を変化させたとき，接線$\ell_p$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ．
(3)$0<p<1$とする．接線$\ell_p$と$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=\log x$と直線$y=x$および2直線$x=a,\ x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S$とする．

(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

$xyz$空間内の6つの平面$x=0,\ x=1,\ y=0,\ y=1,\ z=0,\ z=1$によって囲まれた立方体を$P$とおく．$P$を$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_x$とし，$P$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_y$とする．さらに，$P_x$と$P_y$の少なくとも一方に属する点全体でできる立体を$Q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$Q$と平面$z=t$が交わっているとする．このとき，$P_x$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_x$とし，$P_y$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_y$とする．$R_x$の面積，$R_y$の面積，および$R_x$と$R_y$の共通部分の面積を求めよ．
(2)$Q$と平面$z=t$が交わっているとき，$Q$を平面$z=t$で切ったときの切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$Q$の体積を求めよ．

原点をOとする．$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$で表される移動を$f$とし，$f$により点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$は点$\mathrm{Q}$に移るとする．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{OQ}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}_1=\mathrm{P},\ \mathrm{P}_2=\mathrm{Q}$とし，$f$により点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n \ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$とおく．点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots$が1直線上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=\log x$と直線$y=x$および2直線$x=a,\ x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S$とする．

(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．