$a$を正の定数とする．2つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=(x-2)^2+4a$の交点をPとする．次の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点Q$(t,\ t^2)$における接線の方程式を求めよ．さらに，その接線のうち$C_2$に接するものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り$y$軸に平行な直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点をRとするとき，線分PRの長さを求めよ．
(3)直線$\ell,\ m$と放物線$C_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-t^2,\quad y=1-t^2 \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線を$C$とおく．

(1)$0<t<1$の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻$t$を求めよ．
(2)(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$k$は定数で，$k > 0$とする．曲線$C : y = kx^2 \ (x \geqq 0)$と2つの直線$\displaystyle \ell : y = kx+\frac{1}{k},\ m : y = -kx+\frac{1}{k}$との交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (0 < \beta < \alpha)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha-\beta$の値を求めよ．
(2)$\alpha \beta,\ \alpha^2+ \beta^2$および$\alpha^3- \beta^3$を$k$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と2直線$\ell,\ m$とで囲まれた部分の面積を最小にする$k$の値を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

Oを原点とする座標平面上の円$C:x^2+y^2=1$と直線$x+2y=1$の交点のうち，$x$座標の小さい方をP，他方をQとする．点P，Qにおける円$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．次の問いに答えよ．

(1)P，Qの座標を求めよ．また，$\ell$と$m$の交点Rの座標を求めよ．
(2)線分ORと$C$の交点をSとする．Sの座標を求めよ．また，$\triangle$QRSの面積を求めよ．
(3)$\angle \text{PQS}=\angle \text{RQS}$であることを示せ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x^2}$を描き，この曲線の第1象限内の部分を$C_1$，第2象限内の部分を$C_2$と呼ぶ．$C_1$上の点P$_1 \displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a^2} \right)$から$C_2$に向けて接線を引き，$C_2$との接点をQ$_1$とする．次に点Q$_1$から$C_1$に向けて接線を引き，$C_1$との接点をP$_2$とする．次に点P$_2$から$C_2$に向けて接線を引き，接点をQ$_2$とする．以下同様に続けて，C$_1$上の点列P$_n$と$C_2$上の点列Q$_n$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Q$_1$の座標を求めよ．
(2)三角形P$_1$Q$_1$P$_2$の面積$S_1$を求めよ．
(3)三角形P$_n$Q$_n$P$_{n+1} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の面積$S_n$を求めよ．
(4)級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} S_n$の和を求めよ．

中心$(0,\ a)$，半径$a$の円を$xy$平面上の$x$軸の上を$x$の正の方向に滑らないように転がす．このとき円上の定点$\mathrm{P}$が原点$(0,\ 0)$を出発するとする．次の問いに答えよ．

(1)円が角$t$だけ回転したとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$0$から$2\pi$まで動いて円が一回転したときの点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の曲線$C$の長さを求めよ．

座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 11)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6)$があるとき，次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を方向ベクトルとする直線上の点を$\mathrm{D}$とする．$\triangle \mathrm{ABD}$の面積が$45$となる点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．ただし，$\angle \mathrm{BAD}$は鋭角とする．
(3)線分$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{E}$とするとき，$\angle \mathrm{ACE}$が$60^\circ$となる点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$y = x^2-2x+2$と$y = -x^2 +2| \, x \, |+12$のグラフを同一の座標平面にかけ．
(2)$y = x^2-2x+2$と$y = -x^2 +2| \, x \, |+12$で囲まれる図形の面積を求めよ．

半径$R$の円$C$の中心を通る直線を$\ell$とする．円$C$上の2点A，Bは弦ABが$\ell$と交わらないように動くものとする．$\ell$を軸として弦ABを回転させてできる図形の面積を$S$とする．ただし，直線$\ell$は円$C$と同一平面上にあるものとする．

(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABが$\ell$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．

座標平面において，円$x^2+y^2=1$上の点P$(a,\ b) \ (0<b<1)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸の交点をQとする．点R$(4,\ 0)$と$\ell$の距離が2であるとき，次の問いに答えよ．

(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$\triangle$PQRの面積を求めよ．