放物線$y=x^2+2x$と直線$y=-x+4$について，次の問いに答えなさい．

(1)放物線と直線のグラフを描きなさい．
(2)放物線と直線の交点の座標を求めなさい．
(3)放物線と直線によって囲まれた部分の面積を求めなさい．

$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$，$C_2:y=2x \log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$である．

(1)$C_1$と$C_2$に共通する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

放物線と直線に関して，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2$と直線$y=k (k>0)$で囲まれた部分の面積$S(k)$を$k$を用いて表せ．
(2)放物線$y=1-x^2$と$x$軸とで囲まれた部分を直線$\displaystyle y=a \left( 0<a<\frac{1}{2} \right)$を折り目として折り返す．

(i) 重なっていない部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(ii) 重なっていない部分のうちで，$x$軸の下側にある部分の面積を$S^\prime$とする．$S=2S^\prime$となる$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の$3$点$(-2,\ 16)$，$(1,\ 1)$，$(5,\ 9)$を通る放物線$C$をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}(4,\ 0)$と放物線$C$上を動く点$\mathrm{P}$がある．このとき，線分$\mathrm{AP}$を$2:1$に外分する点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$の軌跡が描く曲線$D$と放物線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{FE} \para \, \mathrm{BC}$，$\mathrm{AE}=\mathrm{EC}$である．また，$\mathrm{FE}$を直径とする円$O$と$\mathrm{BC}$との接点を点$\mathrm{D}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$64$，$\angle \mathrm{ABC}={30}^\circ$のとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)円$O$の半径の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{HFE}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{BF}$の長さを求めよ．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は$2$つの複素数解$\alpha+i \beta$と$\alpha-i \beta$を持ち，$\alpha$と$\beta$は実数で，$\beta>0$とする．ただし，$i$は虚数単位である．次の問に答えなさい．

(1)$\alpha$と$\beta$を$a$と$b$を用いて表しなさい．
(2)$\alpha=\beta$であるとき，$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフと，この放物線の軸，$x$軸，$y$軸とで囲まれる部分の面積を$\alpha$を用いて表しなさい．

$t>0$とする．平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$(2-t) \overrightarrow{\mathrm{PO}}+2(1-t) \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3t \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$を$t$を用いて表せ．

(2)線分$\mathrm{OC}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線となるとき，$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ．
(3)$(2)$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を正の実数とする．座標平面において曲線$y=\sin x\ (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とし，曲線$\displaystyle y=\sin x\ (0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$，曲線$\displaystyle y=a\cos x\ (0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S:T=3:1$となるような$a$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．座標平面において曲線$y= \sin x\ (0 \leqq x \leqq \pi)と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とし，$曲線$y=\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$，曲線$y=a\cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S:T=3:1$となるような$a$の値を求めよ．