点Q，Rを$xy$平面上の放物線$C:y=x^2$上の相異なる点とする．

(1)$q<p^2$を満たす実数$p,\ q$に対して，点P$(p,\ q)$を考える．Q，Rにおける$C$の2本の接線がともにPを通るとき，$C$とこれらの接線で囲まれた部分の面積を，$p,\ q$を用いて表わせ．
(2)(1)で求めた面積を$S_1$とする．直線QRと$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

$x \geqq 0$において，曲線$y=\sqrt{a-3x}$を$C_1$，曲線$y=x^2-bx+3$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が$x$軸上と$y$軸上で共有点をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は正の定数とする．

(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=x^2-2 |2x-1|+2$について，以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフに，異なる$2$点で接する直線を求めよ．

座標平面において，原点を通り傾きが$\tan 2\theta$の直線を$\ell$で表す．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとする．中心が第1象限に属し，直線$\ell$と$x$軸に接する半径1の円$C$を考える．さらに，円$C$と直線$\ell$および$x$軸に接し，中心が第1象限に属する2つの円のうち，面積が大きいものを$C^\prime$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)円$C$の方程式を求めよ．
(2)円$C^\prime$の半径を，$\theta$の関数として表せ．
(3)円$C^\prime$の円周の長さが，円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ．

座標平面上の2点A$(-2,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を端点とする線分ABと楕円の上半分$x^2+4y^2=4,\ y \geqq 0$に4つの頂点がある台形ABCDについて，以下の問いに答えよ．ただし，点Cは第1象限，点Dは第2象限に属しているとする．

(1)点Cの$x$座標を$\displaystyle 2\cos \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，台形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形ABCDの面積の最大値を求めよ．また，そのときの点Cの$x$座標を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ケ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$を表し，$2$を底とする対数関数を$\log_2 (x)$とする．このとき，
\[ \log_2(1!)-\log_2(2!)+\log_2(3!)-\log_2(4!)=[ア] \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$a$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$，辺$\mathrm{AB}$の長さを$c$，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．$S$を$b,\ c$と$\mathrm{A}$を使って表すと，
\[ S=\frac{1}{2}bc [イ] \]
となる．また，$a,\ b,\ c,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の間には
\[ b=a \frac{[ウ]}{\sin \mathrm{A}},\quad c=a \frac{[エ]}{\sin \mathrm{A}} \]
という関係がある．よって，$S$を$a,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$で表すと，
\[ S=\frac{1}{2}a^2 [オ] \]
となる．とくに，$\mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{C}=45^\circ$，$a=1$のときには，
\[ \sin \mathrm{B}=[カ],\quad \sin \mathrm{C}=[キ] \]
また，
\[ \sin \mathrm{A}=[ク] \]
だから，
\[ S=\frac{-1+[ケ]}{4} \]
となる．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は$2$つの複素数解$\alpha+i \beta$と$\alpha-i \beta$を持ち，$\alpha$と$\beta$は実数で，$\beta>0$とする．ただし，$i$は虚数単位である．次の問に答えなさい．

(1)$\alpha$と$\beta$を$a$と$b$を用いて表しなさい．
(2)$\alpha=\beta$であるとき，$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフと，この放物線の軸，$x$軸，$y$軸とで囲まれる部分の面積を$\alpha$を用いて表しなさい．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．

(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）

次の空欄$[サ]$から$[ト]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$x$-$y$平面上の$3$点$\mathrm{P}(-1,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，$\mathrm{R}(2,\ 0)$を通る$2$次曲線$C$を考える．$C$が方程式
\[ y=ax^2+bx+c \quad (a,\ b,\ c \text{は定数}) \]
で与えられるとすると，$C$は点$\mathrm{Q}$を通るから$c=[サ]$である．また$C$は点$\mathrm{P}$を通るから$[シ]=0$であり，点$\mathrm{R}$を通るから$[ス]=0$である．これより，$a=[セ]$，$b=[ソ]$となる．
この$2$次曲線$C$の頂点の座標は$\displaystyle \left( [タ],\ [チ] \right)$である．また，第$1$象限において$C$と$x$軸と$y$軸が囲む面積$S$は，
\[ S=\int_{[テ]}^{[ツ]} (ax^2+bx+c) \, dx \]
で与えられるから，$S=[ト]$となる．

円$x^2+y^2+lx+my+n=0$が，点$\mathrm{A}(-4,\ 3)$，点$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，点$\mathrm{C}(2,\ 3)$の$3$点を通るとき，次の問いに答えなさい．

(1)$l,\ m,\ n$の値を求めなさい．
(2)この円の中心の座標と半径を求めなさい．
(3)この円の面積を求めなさい．