放物線$C:y=x^2$の点A$(a,\ a^2) \ (a>0)$における法線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．

平面上に三角形OABがあり，$\text{OA}=3,\ \text{OB}=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-2$であるとする．線分OAを$2:1$の比に内分する点をCとする．また，線分ABを$t:(1-t)$の比に内分する点をPとし，直線OPと直線BCの交点をQとする．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす実数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形OABの面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる実数$k$を$t$を用いて表せ．
(3)三角形OCQの面積が$\sqrt{2}$になるときの$t$の値を求めよ．

長方形OAB$_1$C$_1$において$\text{OA}=1,\ \angle \text{AOB}_1=\theta \ (0^\circ<\theta<90^\circ)$とする．図のように，この長方形の対角線OB$_1$を一辺とし，$\angle \text{B}_1 \text{OB}_2=\theta$となる長方形OB$_1$B$_2$C$_2$を反時計回りに作る．同様にして$\angle \text{B}_n \text{OB}_{n+1}=\theta$となる長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を作る．次の問いに答えよ．

(1)線分OB$_1$およびB$_1$B$_2$の長さを$\theta$で表せ．
(2)長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1}$の面積を$n$と$\theta$で表せ．ただしB$_0=\text{A}$とする．
(3)$\theta=30^\circ$のとき，図形OAB$_1$B$_2$B$_3$B$_4$C$_4$の面積$S$を求めよ．


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（図は省略）

方程式$y=-x^2+2x+8$で表される放物線を$C_1$とする．放物線$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の内部にある円で，放物線$C_1$と$x$軸に$3$点で接するものを$C_2$とする．放物線$C_1$と$x$軸との$2$つの交点，および放物線$C_1$の頂点を通る円を$C_3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)円$C_2$の方程式を求めよ．
(2)円$C_3$の面積が円$C_2$の面積の何倍になるか求めよ．
(3)放物線$C_1$の頂点を通り，円$C_2$に接する$2$つの接線の方程式を求めよ．

曲線$C_1:y=p \cos x$，$C_2:y=q \sin x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ p>0,\ q>0$である．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$p,\ q$で表せ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$p,\ q$で表せ．
(3)$p,\ q$が$p^2+q^2=4$を満たすとき，(2)で求めた面積$S$の最大値を求めよ．

座標平面内において，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする．$x_0>0,\ y_0>0$とし，曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり，点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき，$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ．
(2)$x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す．このとき，曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ．

2つの関数$f(t)=t \log t$と$g(t)=t^3-9t^2+24t$が与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$は$t \geqq 1$の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)$t \geqq 1$のとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=f(t) \\
y=g(t)
\end{array}
\right. \]
と媒介変数表示される関数$y=h(x)$の$x \geqq 0$の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)$xy$平面上で，曲線$y=h(x)$，2直線$x=f(2),\ x=f(4)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$(1)$，$(2)$の問いに答えよ．また，$(3)$から$(5)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int x \sin x^2 \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^2 xe^x \, dx=[ロ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n+4^n}{3^{n+1}+4^{n+1}}=[ハ] \]
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において$3 \sin x+\cos 2x+1=0$のとき，$x=[ニ]$である．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -2 \\
-3 & 4
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のとき，$(A+B)(A-B)=[ホ]$である．
(5)Oを原点とする座標空間に2点A$(1,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ 2,\ 0)$をとる．このとき，$\cos \angle \text{AOB}=[ヘ]$，$\triangle$AOBの面積は[ト]である．

放物線$C_1:y=x^2-4x+a$と曲線$C_2:y=6 \log x$とが点Pで接している．ただし，$a$は実数とする．

(1)$a$の値，およびPの座標を求めよ．
(2)Pにおける$C_1,\ C_2$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$，$x$軸，および$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

$x$軸とのなす角が$\displaystyle 2\theta \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$で原点Oを通る直線$\ell$と，$x$軸上の定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$と$y$軸上の定点B$(0,\ b) \ (b>0)$がある．円$C_1$，円$C_2$は$\ell$と接し，かつ$C_1$は$x$軸とAで接し，$C_2$は$y$軸とBで接するものとする．$C_1$，$C_2$の中心をそれぞれP$_1$，P$_2$とする．ただし，P$_1$，P$_2$は第1象限の点である．

(1)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積は$\displaystyle S=\frac{ab}{\sin 2\theta + \cos 2\theta+1}$であることを示せ．
(2)$\theta$を変数としたとき，$S$の最小値を求めよ．