関数
\[ y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-x^2-12x & (x<0) \\
3x^2-12x+a & (0 \leqq x)
\end{array} \right. \]
を考える．関数$y=f(x)$の区間$0 \leqq x \leqq 6$における最小値が$-12$であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a$の値は$[ア]$である．
(2)$f(x)=0$となる$x$の値を小さい方から並べると$x=[イウエ],\ [オ],\ [カ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(k,\ -k^2-12k)$（$k<0$とする）における接線$\ell$が点$(-1,\ 15)$を通るという．このとき，$k$の値は$[キク]$である．
(4)接線$\ell$と曲線$y=f(x)$の共有点は点$\mathrm{P}$と$([ケ],\ [コサ])$で，接線$\ell$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積は$[シス]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{7}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{B}$は何度か．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円を$S_1$とするとき，その半径$r_1$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$および円$S_1$に接する円を$S_2$とするとき，その半径$r_2$を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 3)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$と放物線$y=x^2-8x+15$がある．点$\mathrm{P}$が放物線上の$1 \leqq x \leqq 7$の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PAB}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$である二等辺三角形となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$x,\ y$は実数で，曲線$9x^2+16y^2-144=0$を$\ell$とする．

(1)曲線$\ell$上の点で，$x+y$の値の最大値は$[$4$]$である．
(2)座標平面上の第$1$象限において，曲線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$とする．曲線$\ell$上の点$\mathrm{P}$における接線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる三角形の面積の最小値は$[$5$]$であり，このときの点$\mathrm{P}$の座標は$[$6$]$である．

整数$k$に対して，曲線$y=4e^{-x}$と$x$軸，および直線$x=k$と$x=k+1$とで囲まれた図形の面積を$S_k$とする．同じく，この図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_k$とする．このとき，$S_k=[$7$]$，$V_k=[$8$]$であり，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$は$[$9$]$に，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$は$[$10$]$に収束する．

三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点の座標が$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 1)$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さはそれぞれ，$\overline{\mathrm{AB}}=[$16$]$，$\overline{\mathrm{AC}}=[$17$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$18$]$である．
(3)角$\angle \mathrm{BAC}$の角度は$[$19$]$である．
(4)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の半径は$[$20$]$である．

$0<a<2$，$f(x)=x^5-a^4x$とする．

(1)曲線$y=f(x) (a \leqq x \leqq 2)$と直線$x=2$および$x$軸で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる$2$つの部分の面積の和$T(a)$を求めよ．
(3)$S(a)+T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{ACB}={90}^\circ$とし，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$をとり$\mathrm{AD}=x$とする．点$\mathrm{D}$から$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$へ，それぞれ垂線$\mathrm{DE}$，$\mathrm{DF}$を下ろす．

(1)長方形$\mathrm{DECF}$の面積を変数$x$を使って表せ．
(2)長方形$\mathrm{DECF}$の面積が最大となるときの面積と$x$の値を求めよ．

$2$つの放物線$y=-x^2+2x+3$，$y=x^2-1$について，以下の問題に答えよ．

(1)$2$つの放物線を座標平面上に図示し，交点の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線に囲まれた部分の面積を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$は面積が$9 \sqrt{7}$で，$\mathrm{OA}=6$，$\mathrm{OB}=8$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は鈍角である．辺$\mathrm{AB}$上に$2$点$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$があり，線分$\mathrm{OL}$上に点$\mathrm{N}$があって，
\[ \mathrm{AL}:\mathrm{LB}=1:3,\quad \mathrm{AM}:\mathrm{MB}=\mathrm{ON}:\mathrm{NL}=t:(1-t) \]
（ただし，$0<t<1$）が成り立っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]}$であり，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[エオ]$である．

(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$，$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{[カ]}{[キ]} t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ク]}{[ケ]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{NM}}=(1-\frac{[コ]}{[サ]}t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$


と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と垂直になるのは，$\displaystyle t=\frac{[セ]}{[ソ]}$のときである．このとき，三角形$\mathrm{NAB}$の面積は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．