「面積」について
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国立 熊本大学 2011年 第4問楕円$C:x^2+4y^2=1$と点$\mathrm{P}(2,\ 0)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)直線$y=x+b$が楕円$C$と異なる2つの交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最大となるような$b$の値を求めよ．
(1)直線$y=x+b$が楕円$C$と異なる2つの交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最大となるような$b$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2011年 第1問$f(x)=1-x^2$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$は$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$の範囲で動くものとする．原点と点$\mathrm{P}$の$2$点を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$2$直線$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．
(4)$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)$2$直線$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．
(4)$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2011年 第3問関数$\displaystyle f(x)=4x+\frac{22}{3}$がある．また関数$g(x)$は等式
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．
国立 長崎大学 2011年 第6問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け．
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け．
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 長崎大学 2011年 第7問円$\displaystyle C_1:x^2+y^2-2 \sqrt{3}x-4y+3=0$と放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2 \sqrt{3}}x+1$について，次の問いに答えよ．
(1)$C_1$と座標軸との共有点，および$C_2$と座標軸との共有点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-2 \sqrt{3}x-4y+3 \leqq 0 \\
y \leqq -\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2 \sqrt{3}}x+1
\end{array}
\right. \]
を満たす点$(x,\ y)$全体からなる領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値を求めよ．
(1)$C_1$と座標軸との共有点，および$C_2$と座標軸との共有点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-2 \sqrt{3}x-4y+3 \leqq 0 \\
y \leqq -\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2 \sqrt{3}}x+1
\end{array}
\right. \]
を満たす点$(x,\ y)$全体からなる領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値を求めよ．
国立 長崎大学 2011年 第8問曲線$y=\log x$の接線は常にこの曲線の上側にあることを利用して，次の問いに答えよ．以下，$k$は自然数とする．
(1)点$\mathrm{A}_k(k,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${\mathrm{A}_k}^\prime$とし，${\mathrm{A}_k}^\prime$におけるこの曲線の接線を$\ell_k$とする．また，$k \geqq 2$のとき，$\displaystyle \mathrm{B}_k \left( k-\frac{1}{2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C}_k \left( k+\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$\ell_k$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}_k}^\prime$，${\mathrm{C}_k}^\prime$とする．四角形$\mathrm{B}_k \mathrm{C}_k {\mathrm{C}_k}^\prime {\mathrm{B}_k}^\prime$の面積を求めよ．
(2)次の2つの値の大小を比較せよ．
(i) $\log k$と$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 2$）
(ii) $\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}$と$\displaystyle \int_k^{k+1} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 1$）
(3)$\displaystyle a_n=\log (n!)-\frac{1}{2}\log n$とおくと，2以上の自然数$n$について，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_{\frac{3}{2}}^n \log x \, dx<a_n<\int_1^n \log x \, dx \]
(4)2以上の自然数$n$について
\[ \left\{
\begin{array}{l}
U_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+\displaystyle\frac{3}{2} \left( 1-\log \displaystyle\frac{3}{2} \right) \\
V_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+1
\end{array}
\right. \]
とおくとき，次の不等式を示せ．
\[ U_n<\log (n!)<V_n \]
(1)点$\mathrm{A}_k(k,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${\mathrm{A}_k}^\prime$とし，${\mathrm{A}_k}^\prime$におけるこの曲線の接線を$\ell_k$とする．また，$k \geqq 2$のとき，$\displaystyle \mathrm{B}_k \left( k-\frac{1}{2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C}_k \left( k+\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$\ell_k$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}_k}^\prime$，${\mathrm{C}_k}^\prime$とする．四角形$\mathrm{B}_k \mathrm{C}_k {\mathrm{C}_k}^\prime {\mathrm{B}_k}^\prime$の面積を求めよ．
(2)次の2つの値の大小を比較せよ．
(i) $\log k$と$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 2$）
(ii) $\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}$と$\displaystyle \int_k^{k+1} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 1$）
(3)$\displaystyle a_n=\log (n!)-\frac{1}{2}\log n$とおくと，2以上の自然数$n$について，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_{\frac{3}{2}}^n \log x \, dx<a_n<\int_1^n \log x \, dx \]
(4)2以上の自然数$n$について
\[ \left\{
\begin{array}{l}
U_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+\displaystyle\frac{3}{2} \left( 1-\log \displaystyle\frac{3}{2} \right) \\
V_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+1
\end{array}
\right. \]
とおくとき，次の不等式を示せ．
\[ U_n<\log (n!)<V_n \]
国立 九州工業大学 2011年 第3問実数$p>0$と関数$f(x)=x^3-x$がある．$2$曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x+p)-p$について，次に答えよ．
(1)曲線$C_1$と$C_2$が共有点を$2$個もつときの$p$の範囲を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta$に対して
\[ \int_{\alpha}^{\beta}(\beta-x)(x-\alpha) \, dx=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \]
を示せ．
(3)$p$が(1)で求めた範囲を動くとき，曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた図形の面積$S(p)$の最大値を求めよ．
(1)曲線$C_1$と$C_2$が共有点を$2$個もつときの$p$の範囲を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta$に対して
\[ \int_{\alpha}^{\beta}(\beta-x)(x-\alpha) \, dx=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \]
を示せ．
(3)$p$が(1)で求めた範囲を動くとき，曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた図形の面積$S(p)$の最大値を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第4問曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．
国立 福岡教育大学 2011年 第4問$n$を$2$以上の自然数とし，$x$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^n \log 2x,\quad g(x)=\log 2x \]
とする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
\[ f(x)=x^n \log 2x,\quad g(x)=\log 2x \]
とする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
国立 福岡教育大学 2011年 第5問$a,\ b,\ c,\ d$を実数とし，$x$の$4$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=x^4+2ax^3+6bx^2+4cx+d \]
とする．また，曲線$y=f(x)$を$C$とする．さらに，$\displaystyle \alpha=1+\sqrt{\frac{5}{6}},\ \beta=1-\sqrt{\frac{5}{6}}$とおくとき，$f(x)$と$C$は次の$3$つの条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすものとする．
(i) 点$(\alpha,\ f(\alpha))$と点$(\beta,\ f(\beta))$は共に$C$の変曲点である．
(ii) $f(x)$は$x=1$で極値をもつ．
(iii) $f(2)=0$
次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$C$を$x$軸方向に$-1$だけ平行移動した曲線を$y=g(x)$とおく．$g(x)$を求めよ．
(3)$x$軸と$C$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
\[ f(x)=x^4+2ax^3+6bx^2+4cx+d \]
とする．また，曲線$y=f(x)$を$C$とする．さらに，$\displaystyle \alpha=1+\sqrt{\frac{5}{6}},\ \beta=1-\sqrt{\frac{5}{6}}$とおくとき，$f(x)$と$C$は次の$3$つの条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすものとする．
(i) 点$(\alpha,\ f(\alpha))$と点$(\beta,\ f(\beta))$は共に$C$の変曲点である．
(ii) $f(x)$は$x=1$で極値をもつ．
(iii) $f(2)=0$
次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$C$を$x$軸方向に$-1$だけ平行移動した曲線を$y=g(x)$とおく．$g(x)$を求めよ．
(3)$x$軸と$C$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．