「面積」について
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国立 東京農工大学 2011年 第4問$c$を正の実数とする．関数$f(x)=(x+c)e^{2x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$y=f(x)$は$x=k$のとき最小値$m$をとる．このとき，$k$と$m$を$c$の式で表せ．
(2)$k$を(1)で求めた値とする．このとき，定積分
\[ T=\int_k^{-c} f(x) \, dx \]
を$c$の式で表せ．
(3)$T$を(2)で求めた値とする．区間$-c \leqq x \leqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸のすべてで囲まれた部分の面積を$S$とする．$\displaystyle S=\frac{e}{2-e}T$となるときの$c$の値を求めよ．
(1)$y=f(x)$は$x=k$のとき最小値$m$をとる．このとき，$k$と$m$を$c$の式で表せ．
(2)$k$を(1)で求めた値とする．このとき，定積分
\[ T=\int_k^{-c} f(x) \, dx \]
を$c$の式で表せ．
(3)$T$を(2)で求めた値とする．区間$-c \leqq x \leqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸のすべてで囲まれた部分の面積を$S$とする．$\displaystyle S=\frac{e}{2-e}T$となるときの$c$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第2問次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第3問Oを原点とする座標平面上に，方程式$x^2+4y^2=4$で表される楕円$E$がある．楕円$E$の外部の点P$(p,\ q)$から$E$に引いた2本の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．
(1)$p \neq \pm 2$のとき，$\ell_1,\ \ell_2$の傾きをそれぞれ$k_1,\ k_2$とする．$k_1,\ k_2$の和と積を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円$E$に接するとき，OAとABのなす角を$\theta$とする．長方形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最小値を求めよ．
(1)$p \neq \pm 2$のとき，$\ell_1,\ \ell_2$の傾きをそれぞれ$k_1,\ k_2$とする．$k_1,\ k_2$の和と積を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円$E$に接するとき，OAとABのなす角を$\theta$とする．長方形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最小値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第1問$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1,\ C_2$を考える．
\[ C_1:y=-x^2+4x,\quad C_2:y=x^2-2x \]
(1)$C_1,\ C_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$から$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1,\ y_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上にないものとする．
(3)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$x_1$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ C_1:y=-x^2+4x,\quad C_2:y=x^2-2x \]
(1)$C_1,\ C_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$から$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1,\ y_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上にないものとする．
(3)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$x_1$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第1問$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1,\ C_2$を考える．
\[ C_1:y=-x^2+4x,\quad C_2:y=x^2-2x \]
(1)$C_1,\ C_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$から$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1,\ y_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上にないものとする．
(3)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$x_1$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ C_1:y=-x^2+4x,\quad C_2:y=x^2-2x \]
(1)$C_1,\ C_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$から$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1,\ y_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上にないものとする．
(3)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$x_1$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第4問平面内に三角形ABCがある．その平面上で，1点Oを定めておく．次の問いに答えよ．
(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．
(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第2問次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 旭川医科大学 2011年 第2問平面上に正三角形でない鋭角三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}$とおく．さらに，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$をそれぞれ$s-c:s-b,\ s-a:s-c,\ s-b:s-a$に内分する点を$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする．次の問いに答えよ．
(1)点Nを$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{(s-a)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(s-b)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(s-c)\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{s}$と定義するとき，$3$直線$\mathrm{AX}$，$\mathrm{BY}$，$\mathrm{CZ}$は$\mathrm{N}$で交わることを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点，$\triangle \mathrm{PBC}$，$\triangle \mathrm{PCA}$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積をそれぞれ$S_A,\ S_B,\ S_C$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{S_A\overrightarrow{\mathrm{OA}}+S_B\overrightarrow{\mathrm{OB}}+S_C\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{S_A+S_B+S_C} \]
と表される．このことを用いて，$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$a$，$b$，$c$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{N}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{G}$を通る直線上にあるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$は$2$等辺三角形であることを示せ．
(1)点Nを$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{(s-a)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(s-b)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(s-c)\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{s}$と定義するとき，$3$直線$\mathrm{AX}$，$\mathrm{BY}$，$\mathrm{CZ}$は$\mathrm{N}$で交わることを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点，$\triangle \mathrm{PBC}$，$\triangle \mathrm{PCA}$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積をそれぞれ$S_A,\ S_B,\ S_C$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{S_A\overrightarrow{\mathrm{OA}}+S_B\overrightarrow{\mathrm{OB}}+S_C\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{S_A+S_B+S_C} \]
と表される．このことを用いて，$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$a$，$b$，$c$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{N}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{G}$を通る直線上にあるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$は$2$等辺三角形であることを示せ．
国立 小樽商科大学 2011年 第1問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)$\displaystyle \left( \frac{81}{80} \right)^{2011}$の整数部分の桁数は[ ]桁である．ただし，$\log_{10}2=0.30103,\ \log_{10}3=0.47712$とする．
(2)$y=|x|+|x-1|$と$y=x+2$で囲まれた図形の面積は[ ]．
(3)$\displaystyle 16 \sum_{k=1}^n k=5200$のとき，$n=[ ]$．
(1)$\displaystyle \left( \frac{81}{80} \right)^{2011}$の整数部分の桁数は[ ]桁である．ただし，$\log_{10}2=0.30103,\ \log_{10}3=0.47712$とする．
(2)$y=|x|+|x-1|$と$y=x+2$で囲まれた図形の面積は[ ]．
(3)$\displaystyle 16 \sum_{k=1}^n k=5200$のとき，$n=[ ]$．
国立 小樽商科大学 2011年 第2問$3$辺の長さがそれぞれ$2$，$3$，$4$であるような三角形がある．この三角形の面積を$S$，この三角形に内接する円の半径を$r$とする．
(1)$S$を求めよ．
(2)$r$を求めよ．
(1)$S$を求めよ．
(2)$r$を求めよ．