$xy$平面上に直線$\ell:y=(1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3}$と曲線$C:y=-x^2+3x$がある．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と曲線$C$の交点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq (1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3} \\
y \leqq -x^2+3x
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．

\mon[(i)] 領域$D$を$xy$平面上に図示し，$D$の面積を求めよ．
\mon[(ii)] 点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．

座標空間内に2点A$(0,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ -1,\ 2)$があり，点P$(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が(2)の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形PABの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \text{PAB}$の大きさを求めよ．

正の定数$k$に対し，曲線$y=kx^2$を$C$とする．この曲線$C$を用いて，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

\mon[(1)] $a_1>0$
\mon[(ii)] $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，点P$_n (a_n,\ k(a_n)^2)$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．

このとき，次の問に答えよ．

(1)曲線$C$上の点P$_1$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a_2$を$a_1$で表せ．
(3)$a_n$を$a_1$で表せ．
(4)曲線$C$，$x$軸，直線$x=a_n$，$x=a_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．$S_n$を$a_1$で表せ．
(5)$T_n=S_1+S_3+\cdots +S_{2n-1}$とする．$T_{n}$を$a_1$で表せ．
(6)$U_n=S_2+S_4+\cdots +S_{2n}$とする．$\displaystyle \frac{U_n}{T_n}$を求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径2の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点をA，Bとし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点をP，Qとする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点Dは円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦ABの長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦PQの長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形APBQの面積の最大値を求めよ．

$xy$平面上の3点をO$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(3,\ 3)$とする．2点O，Aを通る放物線を$y=-ax^2+bx$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$の式で表せ．
(2)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形が，$\triangle$OABに含まれるような，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形の面積が$\triangle$OABの面積の$\displaystyle \frac{1}{3}$となるとき，$a$の値を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に2点P$(2p,\ 2p^2)$，Q$(2q,\ 2q^2)$がある．ただし，$p<q$である．点Pにおける接線と点Qにおける接線の交点をA$(\alpha,\ \beta)$とする．また，放物線$C$と2直線PA，QAで囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$S$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S=9$かつ$\text{PA} \perp \text{QA}$のとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

$f(x)=2x^2-15x+16+11 \log x$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数であり，その底は$e=2.718 \cdots$である．

(1)$x \geqq 1$のとき，$f(x)>0$であることを示せ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および2直線$x=2,\ x=3$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \log \frac{27}{4}>1.8$であることを示せ．

関数$f(x)=(x^2-4x+1)e^{-x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)$は$g^\prime(x)=f(x)$を満たし，かつ，曲線$y=g(x)$上の点$(3,\ g(3))$における接線は$x$軸と点$(2,\ 0)$で交わる．このとき$g(x)$を求めよ．
(3)2曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の2つの交点をP，Qとするとき，曲線$y=f(x)$と線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．

一般項が$\displaystyle a_n=\frac{27}{10}\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$で与えられる数列$\{a_n\}$の，初項から第$n$項までの和を$b_n$と表すとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{\displaystyle \left( \frac{43}{2}-b_n \right)^2}+\frac{y^2}{\displaystyle \left( \frac{81}{10}+b_n \right)^2}=1$の面積を$S_n$で表すとき．$S_n$が最大になる自然数$n$と，そのときの$S_n$の値を求めよ．