「面積」について
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国立 群馬大学 2011年 第3問$2$つの関数$f(x)=x^2-x,\ g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2011年 第1問斜辺の長さが$a$，面積が$b$である直角三角形が存在するとき，座標平面上の点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．
国立 群馬大学 2011年 第3問$2$つの関数$f(x)=x^2-x,\ g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．
(2)$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2011年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があって，$\ell \overrightarrow{\mathrm{AP}}+m \overrightarrow{\mathrm{BP}}+n \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすとする．ただし，$\ell,\ m,\ n$は正の数とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$1$とするとき，$\triangle \mathrm{BCP}$，$\triangle \mathrm{CAP}$，$\triangle \mathrm{ABP}$それぞれの面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$1$とするとき，$\triangle \mathrm{BCP}$，$\triangle \mathrm{CAP}$，$\triangle \mathrm{ABP}$それぞれの面積を求めよ．
国立 宇都宮大学 2011年 第5問座標平面上の直線$y=mx \ (m>0)$を$\ell$とする．点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$とし，$\mathrm{P}_1$から$\ell$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_1$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}_2$とする．以下同様に$\mathrm{P}_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$から$\ell$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{Q}_n$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$の面積$S_1$を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$の面積を$S_n$とするとき，級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を$m$を用いて表せ．
(3)(2)における$S$が最大になる$m$と，そのときの$S$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$の面積$S_1$を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$の面積を$S_n$とするとき，級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を$m$を用いて表せ．
(3)(2)における$S$が最大になる$m$と，そのときの$S$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2011年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があって，$\ell \overrightarrow{\mathrm{AP}}+m \overrightarrow{\mathrm{BP}}+n \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすとする．ただし，$\ell,\ m,\ n$は正の数とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$1$とするとき，$\triangle \mathrm{BCP}$，$\triangle \mathrm{CAP}$，$\triangle \mathrm{ABP}$それぞれの面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$1$とするとき，$\triangle \mathrm{BCP}$，$\triangle \mathrm{CAP}$，$\triangle \mathrm{ABP}$それぞれの面積を求めよ．
国立 茨城大学 2011年 第3問$k=1,\ 2$に対して放物線$y=x^2-kx+1$を$C_k$で表す．点A$(1,\ 1)$での$C_1$の接線に，点Aで直交している直線を$\ell$とし，$\ell$と$C_2$の交点のうち$x$座標が正となる点をBとする．次の各問に答えよ．
(1)点Bの座標を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と線分ABで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)点Bの座標を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と線分ABで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 山梨大学 2011年 第3問放物線$y=x^2+2x$を$C_1$，放物線$y=x^2-2x+2$を$C_2$とする．
(1)$C_1$と$C_2$を$y=(x-p)^2+q$の形に変形せよ．また，$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$を$y=(x-p)^2+q$の形に変形せよ．また，$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が$(2)$の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{PAB}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が$(2)$の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{PAB}$の大きさを求めよ．
国立 山形大学 2011年 第2問平面上の曲線$C$は媒介変数$t$を用いて，
\[ x=\cos t,\quad y=a \sin t+ b \cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表される．$a,\ b$は定数であり，$a>0$を満たす．以下の問に答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y,\ a,\ b$を用いて表し，$y$について解け．
(2)曲線$C$が$x$軸，$y$軸と交わる点の座標を求めよ．
定数$a,\ b$がそれぞれ$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，以下の問に答えよ．
(3)$x,\ y$のそれぞれの最大値，最小値を求めよ．
(4)曲線$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
\[ x=\cos t,\quad y=a \sin t+ b \cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表される．$a,\ b$は定数であり，$a>0$を満たす．以下の問に答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y,\ a,\ b$を用いて表し，$y$について解け．
(2)曲線$C$が$x$軸，$y$軸と交わる点の座標を求めよ．
定数$a,\ b$がそれぞれ$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，以下の問に答えよ．
(3)$x,\ y$のそれぞれの最大値，最小値を求めよ．
(4)曲線$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．