「面積」について
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国立 愛知教育大学 2011年 第5問座標空間内で点Q$(a,\ b,\ c)$を中心とする半径$r$の球を$B$とし，$B$は各座標平面と交わる位置にあるとする．$B$が$xy$平面によって切り取られる立体のうち，Qを含む方を$B_1$，切断面を$D_1$とする．また$B$が$xz$平面によって切り取られる図形のうち，Qを含む方を$B_2$，切断面を$D_2$とする．$D_1$の面積が$8\pi$，$D_2$の面積が$12\pi$，$D_1$と$D_2$が交わってできる線分の長さが4のとき，以下の問いに答えよ．
(1)$D_1,\ D_2$のそれぞれの中心と半径を$a,\ b,\ c,\ r$を用いて表せ．
(2)$b,\ c,\ r$の値を求めよ．
(3)$B_1$と$B_2$の共通部分が$yz$平面によって切り取られた切断面を$D_3$とする．$a$を動かしたときの$D_3$の面積の最大値とそのときの点Qの座標Q$(a,\ b,\ c)$を求めよ．
(1)$D_1,\ D_2$のそれぞれの中心と半径を$a,\ b,\ c,\ r$を用いて表せ．
(2)$b,\ c,\ r$の値を求めよ．
(3)$B_1$と$B_2$の共通部分が$yz$平面によって切り取られた切断面を$D_3$とする．$a$を動かしたときの$D_3$の面積の最大値とそのときの点Qの座標Q$(a,\ b,\ c)$を求めよ．
国立 琉球大学 2011年 第2問放物線$y=x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$における接線が点$\mathrm{R}$で交わっている．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$p=-1$，$q=2$のとき，$2$本の接線と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$p=-1$，$q=2$のとき，$2$本の接線と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 岐阜大学 2011年 第5問放物線$y=x^2+4x$を$C$とする．$C$上の$x$座標が$p$である点における接線を$\ell$とする．ただし，$p$は正の定数とする．以下の問に答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を通る$C$の接線を$m$とする．ただし，$m$と$\ell$は異なるとする．$m$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とし，放物線$C$と接線$m$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$T$とする．$\displaystyle \frac{T}{S}$の値は$p$によらず一定となることを示せ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を通る$C$の接線を$m$とする．ただし，$m$と$\ell$は異なるとする．$m$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とし，放物線$C$と接線$m$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$T$とする．$\displaystyle \frac{T}{S}$の値は$p$によらず一定となることを示せ．
国立 岐阜大学 2011年 第4問$k,\ n$は自然数で$n \geqq 3$とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする \\
半径1の円を$S_1$とする．右の図のように，半径$r_1$の$n$個の \\
円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ$S_1$に内接してい \\
る．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は，半径$r_1$のすべて \\
の円に外接している．同様に，$k \geqq 2$に対して，半径$r_k$の \\
$n$個の円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ円$S_k$に内 \\
接している．さらに点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は，半径$r_k$ \\
のすべての円に外接している．$S_2$の半径を$s_2$とする．以下の問に答えよ．
\img{385_2485_2011_1}{60}
(1)$r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ．
(2)半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする．$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする．$U(n)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ．
半径1の円を$S_1$とする．右の図のように，半径$r_1$の$n$個の \\
円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ$S_1$に内接してい \\
る．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は，半径$r_1$のすべて \\
の円に外接している．同様に，$k \geqq 2$に対して，半径$r_k$の \\
$n$個の円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ円$S_k$に内 \\
接している．さらに点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は，半径$r_k$ \\
のすべての円に外接している．$S_2$の半径を$s_2$とする．以下の問に答えよ．
\img{385_2485_2011_1}{60}
(1)$r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ．
(2)半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする．$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする．$U(n)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ．
国立 電気通信大学 2011年 第1問$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．
国立 東京学芸大学 2011年 第4問長さ2の線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Pをとる．このとき，下の問いに答えよ．
(1)線分ABの中点をOとし，$\angle \text{POB}=\theta$とするとき，弧APと弦APで囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ．
(2)弦APがこの半円の面積を2等分するとき，不等式$2 \koa{BP}<\koa{AP}<3 \koa{BP}$が成り立つことを示せ．ただし，$\koa{AP},\ \koa{BP}$は弧AP，弧BPの長さを表す．
(1)線分ABの中点をOとし，$\angle \text{POB}=\theta$とするとき，弧APと弦APで囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ．
(2)弦APがこの半円の面積を2等分するとき，不等式$2 \koa{BP}<\koa{AP}<3 \koa{BP}$が成り立つことを示せ．ただし，$\koa{AP},\ \koa{BP}$は弧AP，弧BPの長さを表す．
国立 電気通信大学 2011年 第2問$x>0$において関数
\[ f(x)=\sin (\log x) \]
を考える．\\
方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，
\[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \]
とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(1)不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ
\[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \]
とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4)区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．
\[ f(x)=\sin (\log x) \]
を考える．\\
方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，
\[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \]
とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(1)不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ
\[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \]
とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4)区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．
国立 電気通信大学 2011年 第4問直線$\ell:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,\ b)$とし，点P$(x,\ y)$と直線$\ell$との距離を$h$とする．ただし，$|\overrightarrow{n}|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．
以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．
\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．
以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．
\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2011年 第1問座標平面の$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$と$y$軸上を動く点$\mathrm{Q}$に対して次の操作を行う．\\
「大小$2$つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$を大きいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす
点$\mathrm{Q}$を小さいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす」
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．
(1)この操作を$2$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．
(2)この操作を$2$回続けたときの$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．
(3)この操作を$3$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．
「大小$2$つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$を大きいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす
点$\mathrm{Q}$を小さいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす」
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．
(1)この操作を$2$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．
(2)この操作を$2$回続けたときの$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．
(3)この操作を$3$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．
国立 宇都宮大学 2011年 第3問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OA}<\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{OC}=1$とする．$s=|\overrightarrow{a}|$とするとき，$\triangle \mathrm{OPE}$の面積を$s$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OA}<\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{OC}=1$とする．$s=|\overrightarrow{a}|$とするとき，$\triangle \mathrm{OPE}$の面積を$s$を用いて表せ．