「面積」について
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国立 三重大学 2011年 第5問関数$\displaystyle f(x)=\int_0^1 \bigl|t-|\,x\,| \bigr| \, dt$について以下の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)定数$k$に対し$f(x)=kx$を満たす$x$の個数を調べよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$\displaystyle y=-x+\frac{7}{2}$と$y$軸の3つで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)定数$k$に対し$f(x)=kx$を満たす$x$の個数を調べよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$\displaystyle y=-x+\frac{7}{2}$と$y$軸の3つで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 鳥取大学 2011年 第3問曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 山口大学 2011年 第2問座標平面において，2点A$(1,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を原点のまわりに$\theta$だけ回転した点をそれぞれC，Dとおく，ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．点Cを通り直線CDと垂直に交わる直線を$\ell$とし，点Dを通り直線CDと垂直に交わる直線を$m$とする．また，直線$\ell$と直線$m$によりはさまれた領域を$S$とし，不等式$0 \leqq y \leqq x$の表す領域を$T$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線$\ell,\ m$の方程式を求めなさい．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，領域$S$と領域$T$の共通部分の面積を最小にする$\theta$の値を求めなさい．
(1)直線$\ell,\ m$の方程式を求めなさい．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，領域$S$と領域$T$の共通部分の面積を最小にする$\theta$の値を求めなさい．
国立 名古屋工業大学 2011年 第4問$r$を正の定数とする．2つの曲線
\[ C_1:y=\frac{2x^2}{x^2+1},\quad C_2:y=\sqrt{r^2-x^2} \]
が共有点で互いに直交する接線を持つとする．
(1)共有点の座標と$r$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
\[ C_1:y=\frac{2x^2}{x^2+1},\quad C_2:y=\sqrt{r^2-x^2} \]
が共有点で互いに直交する接線を持つとする．
(1)共有点の座標と$r$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
国立 熊本大学 2011年 第3問2つの放物線$\displaystyle C_1:y=x^2,\ C_2:y=-x^2+2x-\frac{1}{2}$を考える．点A$\displaystyle \left(t,\ -t^2+2t-\frac{1}{2} \right)$における$C_2$の接線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$と$C_1$との交点の$x$座標を，$t$を用いて表せ．
(2)点Aの$x$座標を$\displaystyle t=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$とするとき，第1象限において$\ell,\ C_1$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\ell$と$C_1$との交点の$x$座標を，$t$を用いて表せ．
(2)点Aの$x$座標を$\displaystyle t=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$とするとき，第1象限において$\ell,\ C_1$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 大分大学 2011年 第1問曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．
国立 東京医科歯科大学 2011年 第2問座標平面において，原点をOとし，次のような3点P，Q，Rを考える．
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．
国立 愛知教育大学 2011年 第4問原点から曲線$C:y=e^{2x}$へひいた接線と$C$との接点をP$(a,\ b)$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)点$(0,\ 1)$から点Pまで曲線$C$に沿って点Qが動く．$C$の点Qにおける接線を$\ell$，点Pから$x$軸に下ろした垂線と$\ell$との交点をHとし，Qの$x$座標を$t$とする．$0 \leqq x \leqq a$の範囲で曲線$C$より下，かつ，直線$\ell$より上の部分の面積を$S(t)$とするとき，$0<t<a$における$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)点$(0,\ 1)$から点Pまで曲線$C$に沿って点Qが動く．$C$の点Qにおける接線を$\ell$，点Pから$x$軸に下ろした垂線と$\ell$との交点をHとし，Qの$x$座標を$t$とする．$0 \leqq x \leqq a$の範囲で曲線$C$より下，かつ，直線$\ell$より上の部分の面積を$S(t)$とするとき，$0<t<a$における$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 大分大学 2011年 第2問曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．
(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．
国立 佐賀大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$，$\mathrm{FH}$，$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている．四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる． \\
このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
\img{711_2922_2011_1}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ． \\
（答案） \quad まず$40^2<2116<50^2$なので，$2116-40^2=516$を出す．次に516を2で割って258が出る．この258を40で割ると商が6で余りが18になる．さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る． \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる．以上により，求める答えは46になる．
(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$，$\mathrm{FH}$，$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている．四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる． \\
このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
\img{711_2922_2011_1}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ． \\
（答案） \quad まず$40^2<2116<50^2$なので，$2116-40^2=516$を出す．次に516を2で割って258が出る．この258を40で割ると商が6で余りが18になる．さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る． \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる．以上により，求める答えは46になる．