$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$について$x^2+k>|x|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．
(2)放物線$C_1:y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1$を，$C_2$上に点P$_2$をとる．点P$_1$の$x$座標を$s$，点P$_2$の$y$座標を$t$とする．また原点をO$(0,\ 0)$とする．

(3)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，3点O$(0,\ 0)$，L$(a,\ b)$，M$(c,\ d)$が同一直線上にないとき，その3点を頂点とする$\triangle$OLMの面積が$\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることは使ってよい．
(4)$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．
(5)$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．

放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a^2<b$）を通る放物線$C_2:y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\text{ただし，} \ \alpha < \beta)$とする．$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．

曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

$a>0$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．曲線$C_1$を$\displaystyle y=ax^2+n-\frac{1}{2}$，曲線$C_2$を$y=\log x$とする．$C_1$と$C_2$が共有点$(p,\ q)$をもち，この点で共通の接線をもつとする．

(1)$a$と$(p,\ q)$を$n$で表せ．
(2)$C_1,\ C_2$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_n$を$n$で表せ．
(3)(2)で求めた$S_n$に対し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_{n+1}}{S_n}$を求めよ．

曲線$C:y=e^{-x}|\sin x| \ (x \geqq 0)$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．

$a$を定数とする．空間内の4点A$(1,\ 0,\ 3)$，B$(0,\ 4,\ -2)$，C$(4,\ -3,\ 0)$，D$(-7+5a,\ 14-8a,\ z)$が同じ平面上にあるとき，次の問いに答えよ．

(1)$z$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の値を変化させたとき，点Dは直線AB上の点Pおよび直線AC上の点Qを通る．P，Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を$S_1$，$\triangle$APQの面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}$のグラフを曲線$C$とし，曲線$C$を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{3}{2}$だけ平行移動した曲線を$C^{\, \prime}$とする．

(1)曲線$C$と曲線$C^{\, \prime}$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)2曲線$C,\ C^{\, \prime}$で囲まれた領域の面積を求めよ．

ふたつの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi),\quad C_2:y=\sin x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
が囲む領域を$D$とする．ただし$D$は境界を含むものとする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求め，$D$の面積を求めよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_0^1 \bigl|t-|\,x\,| \bigr| \, dt$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)定数$k$に対し$f(x)=kx$を満たす$x$の個数を調べよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$\displaystyle y=-x+\frac{7}{2}$と$y$軸の3つで囲まれた図形の面積を求めよ．