$n$を自然数とする．$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．

定数$k$は$k > 1$をみたすとする．$xy$平面上の点A$(1,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を，2点X，Yが$\text{AY} = k \text{AX}$をみたしながら動いている．原点O$(0,\ 0)$を中心とする半径1の円と線分OX，OYが交わる点をそれぞれP，Qとするとき，$\triangle$OPQの面積の最大値を$k$を用いて表せ．

2つの関数を$f(x)=\sqrt{x+1} \ (x \geqq -1),\ g(x)=x^2-1 \ (x \geqq 0)$とし，$y=f(x)$と$y=g(x)$で表される曲線をそれぞれ$C_1,\ C_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の逆関数が$g(x)$であることを示せ．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点Pの座標を求めよ．
(3)2つの曲線$C_1,\ C_2$，および2直線$x=0,\ x=1$で囲まれた図形の面積が，(2)で求めた交点Pを通る直線により二等分されるとき，この直線の傾きを求めよ．

曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}$における接線と法線が$x$軸と交わる点を，それぞれ$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$5$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積を$a$で表しなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積$S$を$a$で表し，$\displaystyle S \leqq \frac{1}{3}$であることを示しなさい．

曲線$y = ax^3$と曲線$y = 5 \log x$が接しているとする．ただし，$a$は正の定数で，対数は自然対数である．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$2$つの曲線および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$f(x) = x^3-3x^2 +x$とし，方程式$y = f(x)$が定める曲線を$K$とする．

(1)直線$y = 2x-3$と曲線$K$の$3$つの交点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$3$つの交点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$，$\mathrm{B}(b,\ f(b))$，$\mathrm{C}(c,\ f(c)) (a < b < c)$とし，曲線$K$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$をとる．$p$が$b < p < c$を満たすとき，三角形$\mathrm{BPC}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．

三角形ABCにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$とおく．$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$は，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-4,\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-3,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-5$をみたしている．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)三角形ABCの辺BC，CAの長さを求めよ．
(3)三角形ABCの面積$S$を求めよ．

座標平面上の点$(1,\ 0)$をAとする．原点O$(0,\ 0)$を中心とし半径が1の円周上の2点P，Qは，$\displaystyle \angle \text{AOP}=\theta,\ \angle \text{AOQ}=\theta+\frac{\pi}{3},\ 0<\theta<\frac{2\pi}{3}$を満たす．また，点Pから$x$軸に引いた垂線と$x$軸の交点をBとし，点Cを四角形BPQCが平行四辺形になるように定める．ただし，点P，Qの$y$座標は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Cの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形BPQCの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．