放物線$y=-x^2+1$と，直線$y=ax+a$に囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．

$a>0$とする．放物線$y=ax^2+bx+c$は$2$点$(1,\ 1)$，$(3,\ 2)$を通り，この放物線と$2$点$(1,\ 1)$，$(3,\ 2)$を通る直線で囲まれた図形の面積は$4$になるという．このとき
\[ a=[ア],\quad b=\frac{[イ][ウ][エ]}{[オ]},\quad c=\frac{[カ][キ]}{[ク]} \]
である．

実数$\theta$に対し，座標空間の2点A$(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$，B$(0,\ \sin 2\theta,\ \cos 2\theta)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)点A，Bと原点Oの3点は同一直線上にないことを示せ．
(2)三角形OABの面積$S$を$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値と最小値を求めよ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を入れよ．\\
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で二つの曲線$y=\sin x$と$y= k \cos x$を考える．ただし，$k>0$とする．この二つの曲
線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta\ (0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi)$とし，$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k$と$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$S=4$のとき，$\alpha \leqq x \leqq \theta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が2となるような$\theta$の値を求めよ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．

(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．

実数$m$が$m>-1$を満たすとき，直線$\ell:y=mx$と放物線$C:y=x^2-x$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$における$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(2)$\ell$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めなさい．

$e$は自然対数の底とする．$f(x)=x \log x$（$x>0,\ \log x$は$x$の自然対数）とおく．$t>e$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線の傾きが$\log t$となるとき，$\mathrm{A}$の$x$座標$a(t)$を求めなさい．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a(t)$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t \to \infty$のとき，$\displaystyle \frac{S(t)}{t^p \log t}$が$0$でない値に収束するような正の定数$p$の値を求めなさい．また，そのときの$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^p \log t}$を求めなさい．

内角がすべて$180^\circ$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$に対し，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とおく．$\mathrm{G}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{GA}} +\overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}} + \overrightarrow{\mathrm{GD}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たす点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \quad (s,\ t \text{は正の実数})$と表すとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$と実数$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BD}$上にあるとき，$s$と$t$の満たす関係式を求めなさい．
(3)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，線分$\mathrm{AC}$の中点は線分$\mathrm{BD}$上にあることを示しなさい．
(4)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$の面積は等しくなることを示しなさい．

原点O$(0,\ 0,\ 0)$と点A$(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，3点B$(1,\ 0,\ 0)$，C$(0,\ 2,\ 0)$，D$(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}$は平面$\alpha$に垂直で，成分がすべて正であり，長さが7になるものとする．このとき，$\overrightarrow{a}$を成分で表しなさい．
(2)$\triangle$BCDの面積を求めなさい．
(3)Oから平面$\alpha$へ引いた垂線と平面$\alpha$との交点をHとする．線分OHの長さを求めなさい．
(4)Pは座標がすべて正である直線$\ell$上の点とする．Pを中心とする半径7の球面が点Qで平面$\alpha$に接するとき，P，Qの座標を求めなさい．