「面積」について
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私立 中央大学 2012年 第2問次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．
$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，$x$軸，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．$n$を自然数とし，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．また，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする．
(1)$4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする．このとき$M_k=[キ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$[ク]$となる．ここで，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=[ケ]$を用いると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=[コ]$と計算される．
(2)以下では，曲線$y=f(x)$は下に凸とする．
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を
\[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \]
とおく．$x$軸，直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$，直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき，$N_k=[サ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$[シ]$となる．
\begin{itemize}
ケ，コの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua e^a \phantom{AA} & \marub e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue (a-1)e^{-a} \\ \\
\maruf \log a & \marug \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj (a-1) \log a
\end{array} \]
キ，サの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
ク，シの解答群
\[ \begin{array}{ll}
\marua \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\maruc \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marue \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\marug \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marui \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} &
\end{array} \]
\end{itemize}
$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，$x$軸，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．$n$を自然数とし，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．また，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする．
(1)$4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする．このとき$M_k=[キ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$[ク]$となる．ここで，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=[ケ]$を用いると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=[コ]$と計算される．
(2)以下では，曲線$y=f(x)$は下に凸とする．
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を
\[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \]
とおく．$x$軸，直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$，直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき，$N_k=[サ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$[シ]$となる．
\begin{itemize}
ケ，コの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua e^a \phantom{AA} & \marub e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue (a-1)e^{-a} \\ \\
\maruf \log a & \marug \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj (a-1) \log a
\end{array} \]
キ，サの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
ク，シの解答群
\[ \begin{array}{ll}
\marua \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\maruc \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marue \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\marug \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marui \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} &
\end{array} \]
\end{itemize}
私立 吉備国際大学 2012年 第1問次の（ \quad ）を埋めよ．
(1)大のサイコロの目を百の位の数に，中のサイコロの目を十の位の数に，小のサイコロの目を一の位の数とするとき，できた$3$桁の整数が$4$の倍数になる確率は$( ① )$となる．
(2)$(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$を計算すると$( ② )$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺がそれぞれ$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=17$，$\mathrm{CA}=10$とするときこの三角形の面積は$( ③ )$である．
(4)$(a+b)^{12}$を展開したとき$a^7 b^5$の係数は$( ④ )$である．
(5)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を$7:5$に外分するとき$\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=( ⑤ )$である．
(1)大のサイコロの目を百の位の数に，中のサイコロの目を十の位の数に，小のサイコロの目を一の位の数とするとき，できた$3$桁の整数が$4$の倍数になる確率は$( ① )$となる．
(2)$(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$を計算すると$( ② )$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺がそれぞれ$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=17$，$\mathrm{CA}=10$とするときこの三角形の面積は$( ③ )$である．
(4)$(a+b)^{12}$を展開したとき$a^7 b^5$の係数は$( ④ )$である．
(5)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を$7:5$に外分するとき$\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=( ⑤ )$である．
私立 愛知工業大学 2012年 第2問$a>0$とする．$xy$平面において，曲線$y=e^x$，$x$軸，$y$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$S(b)=2S(a)$となる$b (b>0)$を$a$の式で表せ．
(2)$(1)$の$b$に対して，$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{b}{a}$を求めよ．
(1)$S(b)=2S(a)$となる$b (b>0)$を$a$の式で表せ．
(2)$(1)$の$b$に対して，$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{b}{a}$を求めよ．
私立 愛知工業大学 2012年 第3問$xy$平面において，点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円に外接し，さらに$x$軸に接する円の中心を$\mathrm{P}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標が$2$のとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡$C$の方程式を求めよ．
(3)軌跡$C$，$x$軸，$y$軸および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標が$2$のとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡$C$の方程式を求めよ．
(3)軌跡$C$，$x$軸，$y$軸および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 北海道科学大学 2012年 第7問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=\sqrt{7}$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{3}$のとき，$\angle \mathrm{A}=[$1$]$である．また，この三角形の面積は$[$2$]$である．
私立 大同大学 2012年 第4問$0<a<2$，$f(x)=x^2(x-2)$，$g(x)=a^2(x-2)$とする．
(1)曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれる$2$つの部分の面積の和$S(a)$を求めよ．
(3)$S(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれる$2$つの部分の面積の和$S(a)$を求めよ．
(3)$S(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．
私立 大同大学 2012年 第5問$\displaystyle f(x)=\sin 2x \log (2 \sin x) \left( \frac{\pi}{12} \leqq x \leqq \frac{3}{4} \pi \right)$とする．
(1)不定積分$\displaystyle \int t \log t \, dt$を求めよ．
(2)$2 \sin x=t$とおいて置換積分することにより，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$f(x) \geqq 0$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int t \log t \, dt$を求めよ．
(2)$2 \sin x=t$とおいて置換積分することにより，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$f(x) \geqq 0$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり，さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる．
(2)赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．
(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である．
(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である．
(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると，
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である．関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-[ヒ]$，$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$，$[ホ]$である．また，
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり，さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる．
(2)赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．
(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である．
(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である．
(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると，
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である．関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-[ヒ]$，$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$，$[ホ]$である．また，
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる．
私立 杏林大学 2012年 第4問座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$t \geqq 0$に対して
\[ x=1-e^{-3t},\quad y=8-3t-8e^{-3t} \]
で表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$t \to \infty$のとき$x$の極限値は
\[ \lim_{t \to \infty} x=[ア] \]
であり，$t=0$のとき
\[ \frac{dy}{dt}=[イウ] \]
となる．また，任意の$t$に対して
$\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2}+[エ] \frac{dx}{dt}=[オ]$，
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}+[カ] \frac{dy}{dt}=[キク]$
が成り立つ．
(2)$\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$となる$t$の値を$\alpha$とすると，$e^\alpha=[ケ]$となる．このときの$x$の値を$\beta$とすると，$\displaystyle \beta=\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$y$の値は$[シ]-[ス] \alpha$である．
(3)$0 \leqq t \leqq \alpha$に対して点$\mathrm{P}$の描く曲線と，直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}+\frac{[ツ]}{[テ]} \alpha$となる．
\[ x=1-e^{-3t},\quad y=8-3t-8e^{-3t} \]
で表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$t \to \infty$のとき$x$の極限値は
\[ \lim_{t \to \infty} x=[ア] \]
であり，$t=0$のとき
\[ \frac{dy}{dt}=[イウ] \]
となる．また，任意の$t$に対して
$\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2}+[エ] \frac{dx}{dt}=[オ]$，
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}+[カ] \frac{dy}{dt}=[キク]$
が成り立つ．
(2)$\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$となる$t$の値を$\alpha$とすると，$e^\alpha=[ケ]$となる．このときの$x$の値を$\beta$とすると，$\displaystyle \beta=\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$y$の値は$[シ]-[ス] \alpha$である．
(3)$0 \leqq t \leqq \alpha$に対して点$\mathrm{P}$の描く曲線と，直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}+\frac{[ツ]}{[テ]} \alpha$となる．
私立 東京理科大学 2012年 第2問以下の問いに答えなさい．
(1)関数$y=x^{\sqrt{x}}$（ただし，$x>0$）について，導関数$y^\prime$を求め，$y^\prime=0$となる$x$の値を求めなさい．
(2)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \leqq y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
\displaystyle\frac{1}{4}y^2 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{1}{2}y^2 \\
x>0 \\
y>0
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}
で表される領域の面積を求めなさい．
(1)関数$y=x^{\sqrt{x}}$（ただし，$x>0$）について，導関数$y^\prime$を求め，$y^\prime=0$となる$x$の値を求めなさい．
(2)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \leqq y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
\displaystyle\frac{1}{4}y^2 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{1}{2}y^2 \\
x>0 \\
y>0
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}
で表される領域の面積を求めなさい．