「面積」について
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私立 昭和大学 2012年 第4問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BO}=3$である．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CD}$および$\mathrm{BA}$をそれぞれ延長したときの交点を$\mathrm{E}$とする．以下の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$k$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$により$\triangle \mathrm{BCE}$の面積を$aS$と表すとき，実数$a$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$k$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=p \overrightarrow{\mathrm{OA}}+q \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$により$\triangle \mathrm{BCE}$の面積を$aS$と表すとき，実数$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x(x-\sqrt{3})$および$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}y(y-\sqrt{3})$がある．
(i) この$2$つの曲線の交点を求めよ．
(ii) この$2$つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(a \sqrt{2x^2+x+1}-bx)=2$が成り立つような実数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき，$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x 3^t(3^t-4)(x-t) \, dt$の最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x(x-\sqrt{3})$および$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}y(y-\sqrt{3})$がある．
(i) この$2$つの曲線の交点を求めよ．
(ii) この$2$つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(a \sqrt{2x^2+x+1}-bx)=2$が成り立つような実数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき，$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x 3^t(3^t-4)(x-t) \, dt$の最小値を与える$x$の値を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2012年 第2問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．
(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ ]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[ ]$の比に内分する．
(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[ ]$であり，外接円の半径$R=[ ]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[ ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ ]$である．
(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ ]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[ ]$の比に内分する．
(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[ ]$であり，外接円の半径$R=[ ]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[ ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ ]$である．
私立 関西学院大学 2012年 第3問$a$は$a>2$を満たす実数とする．$f(x)=x^3-a^2x$，$g(x)=-x^2+a^2$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$xy$平面において，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$3$つの共有点をもつことを示し，$3$つの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの$3$つの共有点を，$x$座標の小さいほうから順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=g(x)$のグラフとの共有点のうち点$\mathrm{B}$以外の点を$\mathrm{D}$とする．直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと直線$\ell$で囲まれ，$x \geqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．
(1)$xy$平面において，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$3$つの共有点をもつことを示し，$3$つの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの$3$つの共有点を，$x$座標の小さいほうから順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=g(x)$のグラフとの共有点のうち点$\mathrm{B}$以外の点を$\mathrm{D}$とする．直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと直線$\ell$で囲まれ，$x \geqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2012年 第4問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\cos^4 x-\sin^4 x+\frac{1}{2} \sin x \sin 2x+3 \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$とする．$t=\cos x$とおき$f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=[ ]$である．$f(x)$は$\cos x=[ ]$のとき最大値$[ ]$をとり，$\cos x=[ ]$のとき最小値$[ ]$をとる．
(2)半円$C_1:x^2+y^2=2 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=ax^2+1-a (a<-1)$とで囲まれた図形の面積$S$を求めたい．
(i) $C_1$と$C_2$の交点を求めると$[ ]$である．
(ii) $C_1$と$C_2$のグラフおよび$(1)$で求めた交点を図示せよ．
(iii) 面積$S=[ ]$である．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\cos^4 x-\sin^4 x+\frac{1}{2} \sin x \sin 2x+3 \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$とする．$t=\cos x$とおき$f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=[ ]$である．$f(x)$は$\cos x=[ ]$のとき最大値$[ ]$をとり，$\cos x=[ ]$のとき最小値$[ ]$をとる．
(2)半円$C_1:x^2+y^2=2 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=ax^2+1-a (a<-1)$とで囲まれた図形の面積$S$を求めたい．
(i) $C_1$と$C_2$の交点を求めると$[ ]$である．
(ii) $C_1$と$C_2$のグラフおよび$(1)$で求めた交点を図示せよ．
(iii) 面積$S=[ ]$である．
私立 産業医科大学 2012年 第2問座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．中心が$\mathrm{O}$，半径が$1$の円を$C$とする．円$C$の外部の点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
私立 京都女子大学 2012年 第2問$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{APQ}$の$3$辺$\mathrm{AP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QA}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．
(3)正四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{APQ}$の$3$辺$\mathrm{AP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QA}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．
(3)正四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
私立 千葉工業大学 2012年 第2問次の各問に答えよ．
(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし，$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である．また，$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分，$y$軸，および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$，$a_2=1$，
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める．このとき，
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり，$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる．$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$，公比$[ス]$の等比数列であり，$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし，$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である．また，$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分，$y$軸，および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$，$a_2=1$，
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める．このとき，
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり，$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる．$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$，公比$[ス]$の等比数列であり，$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
私立 千葉工業大学 2012年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=7$であり，辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{M}$とすると$\angle \mathrm{BAM}={60}^\circ$である．$\mathrm{AM}=x$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABM}$の面積を$x$を用いて表すと$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}x$である．また，$\mathrm{BM}:\mathrm{MC}=2:3$より，三角形$\mathrm{AMC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}x$である．
(2)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{MAC}=\frac{[カ] \sqrt{[キ]}}{[クケ]}$であり，$\angle \mathrm{MAC}<{120}^\circ$であることから，$\cos \angle \mathrm{MAC}=\displaystyle\frac{[コサ]}{[シス]}$である．
(3)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{[セ] \sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[チ] \sqrt{[ツ]}$であり，$\displaystyle x=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．
(1)三角形$\mathrm{ABM}$の面積を$x$を用いて表すと$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}x$である．また，$\mathrm{BM}:\mathrm{MC}=2:3$より，三角形$\mathrm{AMC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}x$である．
(2)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{MAC}=\frac{[カ] \sqrt{[キ]}}{[クケ]}$であり，$\angle \mathrm{MAC}<{120}^\circ$であることから，$\cos \angle \mathrm{MAC}=\displaystyle\frac{[コサ]}{[シス]}$である．
(3)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{[セ] \sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[チ] \sqrt{[ツ]}$であり，$\displaystyle x=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．
私立 大阪産業大学 2012年 第2問直線$\ell:y=-3x+k$が，点$\mathrm{P}(1,\ 6)$および点$\mathrm{Q}$の$2$点で円$O:x^2+{(y-4)}^2=5$と交わり，点$\mathrm{Q}$で曲線$\displaystyle C:y=\frac{a}{x}+b$と接している．ここで$k,\ a,\ b$は定数とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$a$と$b$の値を求めよ．
(4)直線$\ell$と曲線$C$，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$a$と$b$の値を求めよ．
(4)直線$\ell$と曲線$C$，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．