周囲の長さが$30 \; \mathrm{cm}$の長方形の面積が$50 \; \mathrm{cm}^2$以上$54 \; \mathrm{cm}^2$以下だとする．このとき，この長方形の$1$辺の長さ$x$の条件を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$がある．直線$y=a$と線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<a<2$とする．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の点$\mathrm{C}$における接線を$\ell$とする．$\ell$上に$\mathrm{C}$でない点$\mathrm{T}$を，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と反対の側にとる．$\angle \mathrm{ACT}=60^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$とする．
（図は省略）

(1)辺$\mathrm{AC}$の長さと外接円の半径を求めよ．
(2)円弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{CD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

下図のように，中心角$60^\circ$の扇形$\mathrm{OAB}$と正三角形$\mathrm{OCD}$，$\mathrm{OAB}$があり，$\triangle \mathrm{OCD}$は扇形$\mathrm{OAB}$に外接し，扇形の半径は$r$とする．
（図は省略）

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{OCD}$の面積$S_2$を求めなさい．
(3)扇形$\mathrm{OAB}$の面積$S_3$を求めなさい．ここで，円周率は$\pi$として計算しなさい．
(4)$S_1<S_3<S_2$より$\pi$の範囲を求めなさい．

下図のように，円と$2$つの直線によって指定される領域がある．
（図は省略）

(1)斜線の領域を表す不等式を求めなさい．ただし，境界線を含むものとする．
(2)斜線の領域の面積$S$を求めなさい．

$a>0$とし，放物線$C:y=x^2-ax$と$x$軸との共有点で，原点$\mathrm{O}$でない方の共有点を$\mathrm{P}$とする．また，$m>0$とし，直線$\ell:y=mx$と放物線$C$との共有点で，原点$\mathrm{O}$でない方の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)放物線$C$上の点$\mathrm{R}$における$C$の接線が直線$\ell$と平行であるとする．そのとき点$\mathrm{R}$と直線$\ell$との距離$d$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$m=a$のとき，放物線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S$は，三角形$\mathrm{ORQ}$の面積の何倍になるか求めよ．

$0<k<2$とする．曲線$C:y=x^2$上を動く点$\mathrm{P}$と，直線$y=2k(x-1)$上を動く点$\mathrm{Q}$との距離が最小となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$の式で表すと$[　]$である．このときの直線$\mathrm{PQ}$と曲線$C$とで囲まれる部分の面積が最小になる$k$の値を求めると，$k=[　]$である．

円$C:x^2+y^2-6x-4y+8=0$と直線$\ell:y=mx-2m-1$（$m$は実数）がある．

(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．

半径$5 \sqrt{2}$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}=30^\circ$のとき

(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さは
\[ \mathrm{AB}=[][] \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=[][],\quad \mathrm{CA}=[][](1+\sqrt{3}) \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{2}(1+\sqrt{3})$である．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，辺$\mathrm{AM}$の長さの$2$乗は$[][](2+\sqrt{3})$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x} (x>0)$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$と点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における曲線$C$の$2$つの接線が共に原点を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$で，対数は自然対数とする．

(1)$a,\ b$の値と点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線，点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における$C$の法線，および曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．