円$x^2+y^2=9$を$C$とする．円$C$が直線$y=-x+k$と異なる$2$つの共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)$k=1$のとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{AB}=4$となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$かつ$k>0$のとき，点$\mathrm{A}$における円$C$の接線と点$\mathrm{B}$における円$C$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．また，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=9$，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．次の各問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

関数$f(x)=|x^2-4|$と$y$軸上の点$\mathrm{C}(0,\ 8)$を通る傾きが$k$である直線$\ell$について，以下の問に答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle S(a)=\int_{-a}^a f(x) \, dx$とするとき，$S(2)$と$S(3)$を求めよ．

(3)$k=0$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(4)$k=4$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(5)$k$が範囲$0<k<4$にあるときの直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を$k$を用いて表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=\sqrt{30}$，$\mathrm{CA}=4$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$\cos A$の値を求めよ．
(2)$\sin A$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{F}$，重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{FA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{FC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{FH}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FG}}$を満たす点とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{FH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$を示せ．
(3)$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が相異なる点で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にないとき，$\triangle \mathrm{AHG}$の面積は$\triangle \mathrm{MFG}$の面積の何倍であるかを求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=1$および$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$が成り立つとする．

$\mathrm{AB}=x$とすると，$x$のとり得る値の範囲は$\displaystyle [ケ]<x<\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$\mathrm{BC}$を$x$を用いて表すと$\mathrm{BC}=\sqrt{[シ]-[ス]x}$である．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$f(x)$とおくと，その導関数は
\[ f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{[シ]-[ス]x}} \left( \frac{[セ]}{[ソ]}-\frac{[タ]}{[チ]}x \right) \]
であるので，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$のとき$f(x)$は最大となる．このとき$\displaystyle \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．

関数$y=1-x^2$，$y=4+3x-x^2$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)不等式$0 \leqq y \leqq 1-x^2$で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．また，不等式
\[ y \geqq 1-x^2,\quad y \leqq 4+3x-x^2,\quad y \geqq 0 \]
で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
(2)曲線$y=1-x^2$上の点$\mathrm{P}(k,\ 1-k^2)$における接線を$\ell$とおく．このとき接線$\ell$が曲線$y=4+3x-x^2$と異なる$2$点で交わるような$k$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}<k$である．また，このとき交点の$x$座標の値を$\alpha$，$\beta$とおくと
\[ \alpha+\beta=[ケ]+[コ]k,\quad \alpha\beta=[サシ]+k^{[ス]} \]
である．
(3)接線$\ell$と曲線$y=4+3x-x^2$で囲まれる領域の面積が$\displaystyle \frac{125}{6}$となる$k$の値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

$xy$平面に三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ \angle \mathrm{ABC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{BAC}=105^\circ,\quad \mathrm{BC}=1+\sqrt{3} \]
であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\mathrm{AB}=[アイ]+\sqrt{[ウ]}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{[エ]}$である．

(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=4$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{B}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}=3$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{C}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{F}$を$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$となるようにとる．このとき，$\mathrm{CF}=[キ]$で，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S$とおくと$\displaystyle S^2=\frac{[クケ]}{[コ]}$である．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C$とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を通り，傾き$-m (0<m<1)$の直線と曲線$C$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の座標，および線分$\mathrm{AB}$の長さ$l$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と曲線$C$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$m \to +0$のとき，$\displaystyle \frac{S}{l}$の極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$であることを用いてよい．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である$2$等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径は$1$である．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$\theta$で表せ．
(2)$S$の最小値を求めよ．