次の空欄$[ア]$から$[ク]$に当てはまるものをそれぞれ答えよ．

放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{x^2}{8}+4$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{4}=2$を考える．

$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$での接線の方程式は
\[ y= [ア]x-[イ] \]
である．$C_1$上の点$(4a,\ 2a^2+4)$における接線が同時に$C_2$の接線でもあるような$a$の値は全部で$4$個ある．それらを小さい方から順に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とすれば，$a_1=[ウ],\ a_2=[エ]$である．$C_2$の囲む図形の面積は$[オ]$である．点$(4a_1,\ 2{a_1}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=f(x)$，点$(4a_4,\ 2{a_4}^2+4)$における$C_1$の接線を$y=g(x)$とする．このとき，$y=g(x)$と$C_2$の接点は$([カ],\ [キ])$である．$6$つの不等式

$\displaystyle y \geqq f(x),\quad y \geqq g(x),\quad x^2+\frac{y^2}{4} \geqq 2,\quad y \leqq \frac{x^2}{8}+4,$
$4a_1 \leqq x \leqq 4a_4,\quad [キ] \leqq y$

を同時にみたす領域の面積は$[ク]-3\pi$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{BC}=15,\ \mathrm{CA} = 4,\ \mathrm{AB} = 13$のとき，次の値を求めよ．

(1)$\cos A$および$\sin A$
(2)外接円の半径
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積および内接円の半径

次の問に答えなさい．

(1)式$8x^2-2x-15$を因数分解すると，
\[ ([$1$]x-[$2$])([$3$]x+[$4$]) \]
となる．
(2)$x$に関する$2$次方程式$2x^2-(2m-3)x-3m=0$が重解を持つとき，$m=[$5$]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}} = [$6$] (\sqrt{[$7$]} - \sqrt{[$8$]})$である．

(4)$\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$より大きい整数のうち，最小の整数は[$9$]である．
(5)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする長方形の辺$\mathrm{AB}$の長さを$a$とする．さらに$4$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$があり，$4$つの三角形$\mathrm{ABE}$，三角形$\mathrm{BCF}$，三角形$\mathrm{CDG}$，三角形$\mathrm{DAH}$はすべて長方形$\mathrm{ABCD}$の外側にある正三角形であるとする．このとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{A}$をこの順に線分で結んでできる図形の周の長さを$L$とする．\\
\quad $L$を一定とするとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積が最大になるのは$a=[$10$]$のときで，そのときの長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は[$11$]である．

次の問に答えなさい．

(1)$2$つの関数
\[ \begin{array}{ll}
y=|x|-1 & \cdots\cdots① \\
y=-|x|+1 & \cdots\cdots②
\end{array} \]
がある．関数$①$のグラフを$C_1$，$②$のグラフを$C_2$とする．このとき，$C_1$と$C_2$は$2$点$(-[$12$],\ [$13$])$，$([$14$],\ [$15$])$で交わる．$C_1$は$y$軸と点$(0,\ [$16$])$で交わり，$C_2$は$y$軸と点$(0,\ [$17$])$で交わる．
(2)$2$つの関数
\[ \begin{array}{l}
y=\displaystyle\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} |x|-(\sqrt{5}+\sqrt{3}) \\ \\
y=-\displaystyle\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} |x|+(\sqrt{5}-\sqrt{3})
\end{array} \]
のグラフを，それぞれ，$C_1,\ C_2$とする．このとき，$C_1$と$C_2$は$2$点$(-[$18$],\ [$19$])$，$([$20$],\ [$21$])$で交わる．また，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle\frac{[$22$]}{[$23$]}$である．

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$x^3-4x^2+ax+b=0$の$1$つの解が$1-2i$であるとき，実数解は$[ア]$であり，$a=[イ]$，$b=[ウ]$である．ただし，定数$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて$2$回振り，最初に出た目が$a$，次に出た目が$b$ならば座標平面上に直線$\ell:y=ax-b$を描く．この試行において，直線$\ell$が放物線$y=x^2$と相異なる$2$点で交わる確率は$[エ]$である．
(3)不等式$x^2+y^2+6x+4y-12 \leqq 0$の表す領域の面積は$[オ]$である．
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$であるとき，$x^3+y^3-2xy^2=[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，$\sqrt{3}\cos \theta-\sin \theta=r \sin (\theta +\alpha)$の形に変形すると，$r=[キ]$，$\alpha=[ク]$である．ただし，$0 \leqq \alpha < 2\pi$とする．
(6)実数からなる数列$\{a_n\}$が$a_{n+1}^3=2a_n^2,\ a_1=4$を満たすとき，$\log_2a_n=[ケ]$である．
(7)図のように東西$6$本，南北$6$本の道路で区画された場所がある．南西の端の地点$\mathrm{A}$から北東の端の地点$\mathrm{B}$へ行く最短ルートは$[コ]$通りある．
（図は省略）
(8)$3$次関数$f(x)=x^3-3a^2x+b (a>0)$が極大値$13$と極小値$-19$を持つならば$a=[サ]$，$b=[シ]$である．

$2$次関数$F(x)$について，次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$F(x)=0$は$2$つの解$2,\ -3$を持ち，$F(5)=12$を満たす．このとき，$F(x)$を求めよ．
(2)(1)で求めた$F(x)$が関数$f(x)$を用いて
\[ F(x)=2 \int_a^x f(t) \, dt \]
と表されるとき，関数$f(x)$と定数$a$の値をすべて求めよ．
(3)座標平面において，曲線$y=F(x)$と曲線$y=f(x)$とで囲まれる領域の面積を求めよ．

正の数$a$に対して，空間内の$3$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{a}},\ 0,\ 0 \right)$，$\mathrm{B} (0,\ \sqrt{a},\ 0)$，$\mathrm{C} (0,\ 0,\ \sqrt{a})$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$a$で表せ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$を$\theta$とおく．$\cos \theta$を$a$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S}{\mathrm{BC}}$が最小値をとるときの$a$の値とその最小値を求めよ．

曲線$y=x^3-x$を$C_1$とし，放物線$y=x^2+ax+b$を$C_2$とする．また，放物線$C_2$の頂点の座標は$(t,\ -t^2)$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3-x$の極値を求めよ．
(2)$a$を$t$で表せ．
(3)曲線$C_1$と放物線$C_2$が異なる共有点をちょうど$2$個もつ$t$の値が$2$つある．それらの値$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$を求めよ．
(4)$t=t_1$のとき，曲線$C_1$と放物線$C_2$によって囲まれた領域の面積を求めよ．

放物線$y=-2x^2+3x-1$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S$とする．$24S$の値を求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする．$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\displaystyle \mathrm{Q}(\frac{3}{2}\cos \theta,\ \frac{3}{2}\sin \theta)$がある．点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}:\mathrm{QR}=1:2$を満たす点とする．

(1)点$\mathrm{R}$が直線$y \cos \theta-x \sin \theta=0$上にあるとき，それらの点の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]} \cos \theta,\ \frac{[コ]}{[サ]} \sin \theta \right),\quad \left( \frac{[シ]}{[ス]} \cos \theta,\ \frac{[セ]}{[ソ]} \sin \theta \right) \]
である．ただし，$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}>\frac{[シ]}{[ス]}$とする．
(2)$\mathrm{R}$の軌跡は方程式
\[ \left( x-\frac{[タ]}{[チ]} \cos \theta \right)^2+\left( y-\frac{[ツ]}{[テ]} \sin \theta \right)^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
が表す円$D(\theta)$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を動くとき，(2)で求めた$D(\theta)$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌネ]} \pi$である．