$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，
\[ \mathrm{PA} = \mathrm{PB} = \mathrm{PC} = \mathrm{PD} = \sqrt{5} \]
である四角錐$\mathrm{PABCD}$を考える．
（図は省略）

(1)四角錐$\mathrm{PABCD}$のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき
\[ \mathrm{PH}=[テ],\quad \mathrm{OH}=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である．
(2)辺$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{PD}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき
\[ \mathrm{SP}=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \sqrt{[ネ]} \]
である．$\mathrm{S}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{ST}$を下ろすとき
\[ \mathrm{ST}=\frac{[ノ]}{[ハ]},\quad \mathrm{CT}=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．さらに，四角形$\mathrm{CRSQ}$の面積は
\[ \frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．

次の空欄$[ア]$から$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$(x+3)|x-4|+2x+6=0$の解は$x=[ア]$である．
(2)曲線$y=x^3-3x^2+1$上の点$(1,\ -1)$における接線が，放物線$y=ax^2+a$と接するとき，$a=[イ]$である．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle\frac{1}{2-i}+\frac{1}{3+i}=a+bi$となる実数$a,\ b$を求めると，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)白玉$4$個と赤玉$2$個が入っている袋がある．この袋から同時に玉を$3$個とりだすとき，白玉の数がちょうど$2$個である確率は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle\tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = [カ]$である．ただし，$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．
(6)実数$x$が$x>1$の範囲を動くとき，$\log_3 x + 3\log_x 3$の最小値は$[キ]$である．
(7)関数$f(x)$が実数$a$に対して，等式$\displaystyle\int_a^x f(t)\, dt = x^3+x^2-6x-a^2-9$を満たすとき，$a$の値は$[ク]$である．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積の比が$3:2$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = [ケ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[コ]\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

座標平面上に$2$つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-x^2+4x+6$がある．$2$つの放物線$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標の値は$\mathrm{Q}$の$x$座標の値よりも小さいものとする．また，放物線$C_2$の頂点を$\mathrm{R}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OR}$と，$2$つの放物線$C_1$，$C_2$とで囲まれる部分のうち，点$\mathrm{P}$を含む部分の面積を$S$とする．$S$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{OR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{MQ}$と$C_1$とで囲まれる部分の面積を$T$とする．$T$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x) = \log_4 32x - \log_8 64x + \log_{16} 8x\]
とする．$5 \leqq f(x) \leqq 10$となるためにの必要十分条件は
\[ 2^a \leqq x \leqq 2^b,\quad a=[ア],\ b=[イ] \]
である．
(2)関数$g(x)$を
\[ g(x) = 4\cos^2 \frac{x}{2} +2\sin^2\frac{x}{2} +\sqrt{3}\sin x \]
とする．$0 \leqq x < 2\pi$とすると，$\displaystyle x=\frac{[ウ]}{[エ]}\pi$のとき$g(x)$は最大値をとる．
(3)$m$と$n$を$m \geqq n$を満たす正の整数とする．3辺の長さがそれぞれ$m+1,\ m,\ n$であり，それらの和が100以下であるような直角三角形は，全部で[オ]個ある．また，そのうち面積が最も大きいものの斜辺の長さは[カ]である．

直線$y=x-1$上の点$\mathrm{A}(a,\ a-1)$を通り，放物線$y=x^2$に接する直線を，$\ell,\ m$とする．ただし，$\ell$の方が$m$よりも傾きが大きいものとする．

(1)直線$\ell$の傾きを$a$で表すと
\[ [キ]\left( a+\sqrt{a^2+[ク]a+[ケ]} \right) \]
である．
(2)直線$\ell,\ m$と放物線$y=x^2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする，線分$\mathrm{PQ}$と放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積$S$を$a$で表すと，
\[ S= \frac{[コ]}{[サ]}\left( a^2 +[シ]a+[ス] \right)^{\frac{3}{2}} \]
であり，$\displaystyle a=\frac{[セ]}{[ソ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$をとる．
(3)放物線$y=x^2$上の点で直線$y=x-1$との距離が最小であるのは$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ \frac{[ト]}{[ナ]} \right)$で，その距離は$\displaystyle\frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}$である．

関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフの$x>0$の部分を曲線$C$とする．実数$t$は$0<t<1$をみたすものとし，$C$上に点P$\displaystyle \left(t,\ \frac{1}{t} \right)$をとる．このとき，次の問(1)～(5)に答えよ．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と平行な直線を$m$とし，直線$m$と曲線$C$の共有点で点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$2$つの線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．面積$S$を$t$で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，曲線$C$，および$x$軸で囲まれた部分が，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．体積$V$を$t$で表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{t \to 1-0} \frac{S}{V}$を求めよ．

関数$y=x^3-(a+2)x+a^2-2a$とそのグラフ$C_a$に対して，次の問いに答えよ．ただし，$a \geqq 1$とする．

(1)$C_a$と直線$x=1$との交点の座標を$(1,\ t)$とするとき，$a$の変化に応じて$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)この関数が$x=\sqrt{2}$で極値をとるとき，$a$の値および極大値，極小値を求めよ．
(3)$a=1$としたときのグラフを$C_1$とする．2つのグラフ$C_a$と$C_1$および$y$軸とで囲まれた図形の面積が4となるとき，$a$の値を求めよ．

(経営学部III)および(人間環境学部III)\\
\quad 1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて，2辺DH，GHの中点をそれぞれM，Nとおく．さらに，3つの線分AC，AM，ANが平面BDEと交わる点をそれぞれP，Q，Rとおく．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表せ．
(3)三角形PQRの面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$1$から$9$までの番号が書かれた$9$個のポールが袋に入っている．この袋の中から$1$個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．

(i) この試行を$3$回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも$2$回取り出す確率は$\displaystyle\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．

(ii) この試行を$2$回行ったとき，取り出したボールの番号の差が$1$以下となる確率は$\displaystyle\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．

(2)$t$を$t>1$をみたす実数とし，$xy$平面上で次の方程式で表される$3$直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を考える．
\[ \begin{array}{l}
\ell_1:tx-y=0 \\
\ell_2:x-ty-t^2=0 \\
\ell_3:x+ty-t^2=0
\end{array} \]
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$で囲まれる三角形の面積を$S(t)$とし，この三角形の$x$軸の上側の部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸の下側の部分の面積を$S_2(t)$とする．

(i) $S_2(t)=2S_1(t)$となる$t$の値は$t=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}$であり，$S(t)$を$t$で微分して符号を調べることにより，$S(t)$は$\displaystyle t=\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\frac{[ソ]}{[タ]}}$で最小値をとることがわかり，最小値は
\[ \frac{7}{[チ]} \left( \frac{[ツ]}{[テ]} \right)^{\frac{[ト]}{[ナ]}} \]
となる．

(3)$p$を実数とし，方程式$\displaystyle x^3-px^2-\frac{13}{4}x+\frac{15}{8}=0$は$3$つの実数解$a,\ b,\ c (a>b>c)$をもつとする．$a+c=2b$をみたすとき，
\[ a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad b=\frac{[ネ]}{[ノ]},\quad c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad p=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3 \]
であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つのなす角も$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとする．$\mathrm{G}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点，$\mathrm{N}$を$\mathrm{BC}$の中点，$\mathrm{L}$を$\mathrm{MN}$の中点とする．このとき，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\frac{[ホ]}{[マ]},\quad |\overrightarrow{\mathrm{GL}}|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]} \]
である．

自然数$n$に対して，$3$次曲線$C_n:y=x(x-n)(x-n-1)$を考え，原点$\mathrm{O}$を通る$C_n$の接線で，接点が原点以外のものを$\ell_n$とする．また，$C_n$の原点における接線と$C_n$で囲まれる部分の面積を$S_n$とし，$\ell_n$と$C_n$で囲まれる部分の面積を$T_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell_n$の方程式を求めよ．
(2)$S_n,\ T_n$を求め，さらに，$\displaystyle \frac{T_n}{S_n}$を求めよ．
(3)$\ell_1$と平行な$C_1$の接線で，$\ell_1$と異なるものを$\ell^\prime$とする．$\ell^\prime$の方程式を求めよ．
(4)$\ell^\prime$は$(3)$におけるとおりとする．次の$4$直線で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
\begin{itemize}
$\ell_1$
$\ell^\prime$
$\ell_1$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
$\ell^\prime$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
\end{itemize}