低所得者層が$20 \%$，中所得者層が$70 \%$，高所得者層が$10 \%$の社会がある．低所得者層の平均所得が$30$単位，中所得者層の平均所得が$50$単位，高所得者層の平均所得が$70$単位とする．

$xy$平面を考え，$x$軸を全所得者を所得の低い順に数えたときの累積人数の全所得者数に対する割合，$y$軸を対応する累積所得の全所得に対する割合にとる．例えば$x$座標が$0.2$のとき，$y$座標は低所得者全体の所得の全所得に対する割合である．これに対応する点は

\quad $\displaystyle \mathrm{A} \left( 0.2,\ \frac{0.2 \times 30}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$

となる．同様に$x$座標が$0.9,\ 1$の点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はそれぞれ

\quad $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0.9,\ \frac{0.2 \times [(23)][(24)] + 0.[(25)][(26)] \times [(27)][(28)]}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$

\quad $\mathrm{C} \left(1,\ [(29)][(30)] \right)$

となる．
$x$軸上の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{D}(0.2,\ 0)$，$\mathrm{E}(0.9,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 0)$としたとき，三角$\mathrm{OAD}$，台形$\mathrm{ADEB}$，台形$\mathrm{BEFC}$の面積の総和を平等度指数とよぶ．平等度指数は

$\displaystyle \frac{[(31)][(32)]}{[(33)][(34)]}$

ある．ここで所得に対して，一定の割合で課せられる税，すなわち所得税を導入をした．低所得者には無税，中所得者には$10$単位，高所得者には$20$単位の所得税を課した．税を払った残りを改めて所得としたときの平等度指数は

$\displaystyle \frac{[(35)][(36)][(37)]}{[(38)][(39)][(40)]}$

である．

曲線上の点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$におけるこの曲線の接線$\ell$と直交する直線$m$をこの曲線の法線とよぶ．$a,\ b>0$とし，$2$次曲線$x^2 = 4a(y+b)$の法線が$(0,\ 2a)$を通るとき，接点$\mathrm{P}(p,\ q)$は
\[ p^2 = [(41)]ab, \quad q= [(42)] \]
をみたす．したがって条件をみたす接線と法線の組$(\ell,\ m)$は$2$組ある．この$4$本の直線で囲まれる$4$角形$S$の面積は$[(43)][(44)](a+b)\sqrt{ab}$である．また$2$本の法線と$2$次曲線で囲まれる部分で$S$に含まれる部分の面積は
\[ \left( \frac{[(45)][(46)]a+[(47)][(48)]b}{[49]} \right) \sqrt{ab} \]
である．

次の各問の$[　]$に入る数値を書け．

(1)$x^{\log_5 x} = 25x$を満たす$x$は，大きい方から順に$x=[$1$]$と，$x=[$2$]$である．
(2)$y=x^3-ax^2+x+4$と$y=x$が，異なる$2$点のみを共有するとき，$a=[$3$]$であり，$x>0$の範囲で，$x=[$4$]$のとき共有点を持つ．
(3)放物線$\displaystyle C_1\ :\ y=\frac{x^2}{2}$と放物線$\displaystyle C_2\ :\ y=\frac{x^2}{2}-2x+4$にともに接する直線を$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，
$[$5$]$であり，$C_1,\ C_2,\ \ell$で囲まれた領域の面積は$[$6$]$である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 2\sqrt{3}, \quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{15}, \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}} = 8 \]
を満たしているとする．ここで，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを表し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表すものとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと
\[ \cos \theta = \frac{[ア]}{[イウ]} \sqrt{[エ]} \]
となる．\\
\quad また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{[オカ]}$である．
(2)線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる．このとき，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$[キ]:[ク]$に内分する点である．

直線$y=ax \cdots\cdots①$，放物線$y=-x(x-3) \cdots\cdots②$がある．こごで$a$はある定数で$0<a<3$とする．このとき，次の各問の$[　]$にあてはまる数を入れよ．

(1)直線$①$と放物線$②$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とすると，
\[ S_1 = \frac{[ア]}{[イ]} \left( [ウ]-a \right)^{[エ]} \]
である。
(2)放物線$②$と$x$軸で囲まれる部分の面積が直線$①$によって二つの部分に分割され，直線$①$と放物線$②$によって囲まれた部分の面積と，直線$①$，放物線$②$および$x$軸によって囲まれた部分の面積の比が$2:1$になるとき，
\[ a = [オ]-\sqrt[3]{[カ][キ]} \]
である．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{3}$のとき，直線$①$と放物線$②$で囲まれた部分の面積$S_1$が，直線$①$，放物線$②$および直線$x=b (b>3)$で囲まれた部分の面積$S_2$と等しいとき，$b$の値は$[ク]$である．

$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．

(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．

(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．

$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$上の点で，$\triangle \mathrm{ABD}$の$3$辺の長さの和が$10\sqrt{3}$，かつ$\sin \angle \mathrm{BAD} : \sin \angle \mathrm{ABD} : \sin \angle \mathrm{ADB}=4:5:6$を満たすとする．

(1)$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．

$a$を実数とする．$xy$平面上の$2$曲線

\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える．
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が，$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$t$と$s$の関係式を求めよ．また，$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし，$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．ただし，$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする．

(i) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(ii) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$C_1,\ C_2$をそれぞれ次の$2$次関数のグラフとする．
\[ C_1: y=x^2, \quad C_2: y=-(x-a)^2+2a+b \]

(1)$C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a$と$b$で表すと
\[ a^2+[タ]a+[チ]b \leqq 0 \]
となる．特に$b$のとりうる値の範囲は$b \geqq [ツ]$であり，$b=[ツ]$のとき$C_1$と$C_2$はただ$1$つの共有点$\left( [テ],\ [ト] \right)$をもつ．
(2)$b=6$とし，$C_1$と$C_2$は共有点をもつとすると，
\[ [ナ] \leqq a \leqq [ニ] \]
である．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とすると，$D$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{3} \left( [ヌ]a^2+[ネ]a+[ノ] \right)^{\frac{3}{2}} \]
と表される．$a=[ハ]$のとき$S$は最大値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$をとる．
(3)$a=[ハ]$，$b=6$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D_0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D_0$内を動くとき，$x+2y$の最大値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．

$a$を実数とする．座標平面において，放物線$C_a$
\[ C_a:y=-2x^2+4ax-2a^2+a+1 \]
および放物線$C$
\[ C:y=x^2-2x \]
を考える．

(1)$C_a$の頂点は常に直線$y=[ク]x+[ケ]$上にある．
(2)$C_a$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は，
\[ \frac{[コ]}{[サ]} \leqq a \leqq [シ] \]
である．
(3)$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき，$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{P}([ス],\ [セ])$である．

(4)$a=[シ]$のとき，$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{Q}([ソ],\ [タ])$である．

(5)$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(6)$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<a<[シ]$の場合，$C_a$と$C$で囲まれる図形の面積は，$\displaystyle a=\frac{[テ]}{[ト]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]}$をとる．