「面積」について
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国立 山梨大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3$である．このとき，$\overrightarrow{p}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$を求めよ．
(2)条件$\left\{ \begin{array}{l}
1 \leqq x-2y \leqq 3 \\
0 \leqq x+y \leqq 1
\end{array} \right.$の表す領域$D$を図示せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$3 \sin \theta-1<\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(4)平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1)$がある．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3$の$0<x<1$の部分を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3$である．このとき，$\overrightarrow{p}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$を求めよ．
(2)条件$\left\{ \begin{array}{l}
1 \leqq x-2y \leqq 3 \\
0 \leqq x+y \leqq 1
\end{array} \right.$の表す領域$D$を図示せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$3 \sin \theta-1<\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(4)平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1)$がある．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3$の$0<x<1$の部分を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値を求めよ．
国立 山梨大学 2012年 第2問$a$を定数，$h$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$，放物線$C$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，直線$\mathrm{PQ}$に平行で放物線$C$に接する直線を$\ell$とする．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{R}$，直線$\ell$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{S}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と放物線$C$に囲まれた図形の面積を$A_1$，四角形$\mathrm{PRSQ}$の面積を$A_2$としたとき，$\displaystyle \frac{A_1}{A_2}$の値は$a$と$h$に無関係に一定となることを示せ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{R}$，直線$\ell$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{S}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と放物線$C$に囲まれた図形の面積を$A_1$，四角形$\mathrm{PRSQ}$の面積を$A_2$としたとき，$\displaystyle \frac{A_1}{A_2}$の値は$a$と$h$に無関係に一定となることを示せ．
国立 愛媛大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2+2x-3$と直線$y=2x+4$の交点の座標を求めよ．
(2)次の連立不等式で表される領域を$D$とする．領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2+2x-3 \\
y \leqq 2x+4 \\
y \leqq 0
\end{array} \right. \]
(3)点$(x,\ y)$が(2)の領域$D$を動くとき，$x+2y$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)放物線$y=x^2+2x-3$と直線$y=2x+4$の交点の座標を求めよ．
(2)次の連立不等式で表される領域を$D$とする．領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2+2x-3 \\
y \leqq 2x+4 \\
y \leqq 0
\end{array} \right. \]
(3)点$(x,\ y)$が(2)の領域$D$を動くとき，$x+2y$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 山梨大学 2012年 第1問次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
国立 愛媛大学 2012年 第4問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
\img{669_2872_2012_1}{38}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第4問実数$a$は$a>e$を満たすとし，曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．
(3)$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2 \leqq a \leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．
(3)$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2 \leqq a \leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第1問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第1問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
\img{669_2872_2012_1}{38}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2012年 第4問半径$2$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{BD}$がこの円の直径であるとする．$\mathrm{AD}=3$，$\mathrm{CD}=2$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\angle \mathrm{AEB}=\theta$とする．このとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\angle \mathrm{AEB}=\theta$とする．このとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2012年 第3問定数$a (a \neq 1)$に対し，$f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+1)x-a$とする．
(1)方程式$f(x)=0$の解を$a$を用いて表せ．
(2)関数$f(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．
(1)方程式$f(x)=0$の解を$a$を用いて表せ．
(2)関数$f(x)$の極値を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．
ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．