平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一直線上にないものとし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=1$とする．また，$t$を正の実数とし，平面上の点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と定め，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$t$および$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$t$と内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CP}}$かつ点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．

連立不等式$x^2+y^2 \leqq 1,\ \sqrt{2}x^2 \leqq y$を満たす部分の面積を求めよ．

座標平面上の2点A$(6,\ 0)$，B$(-2,\ 4)$を結ぶ線分AB上を点Tが移動する．原点Oと点Tを頂点とし，2辺がそれぞれ$x$軸と$y$軸上にある長方形の面積を$S$とする．また，点Tの座標を$(x,\ f(x))$とし，$S$を$x$の関数として$S(x)$と表す．次の各問に解答しなさい．

(1)$f(x)$と$S(x)$を$x$で表しなさい．さらに，区間$-2 \leqq x \leqq 6$における$y=S(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線$x=-2$と曲線$y=S(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間$-2 \leqq x \leqq 4$における任意の$x$の値について，区間$x \leqq t \leqq x+2$における関数$S(t)$の最大値を$x$の関数として$M(x)$と定義する．関数$M(x)$を$x$で表し，さらに$y=M(x)$のグラフの概形を図示しなさい．

関数$\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$x>0$における曲線$y=f(x)$の概形を書きなさい．
(2)$t>0$のとき，3直線$y=0,\ x=t,\ x=t+2$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t>0$における$S(t)$の最小値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．
(2)$(1)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．

座標空間内において，2点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$を端点とする線分OA，平面$z=2$上に点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周$C$，および$C$上の動点Pがあるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線PAと$xy$平面との交点をA$^\prime$とするとき，A$^\prime$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分OA$^\prime$が動いてできる$xy$平面上の図形を描け．
(3)(2)の図形の面積を求めよ．

$2$次関数$f(x)=-x^2+10x-16$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$の値$\alpha,\ \beta$を求めよ．ただし$\alpha<\beta$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$2$次関数$g(x)=px^2+qx$と$f(x)$は同じ$x$の値で極値をとり，関数$y=g(x)$のグラフと$x$軸および$2$直線$x=\alpha,\ x=\beta$とで囲まれた図形の面積が$(2)$で求めた$S$に等しいとする．定数$p,\ q$の値を求めよ．

$a$を実数の定数として，$f(x)=x(x-a)^2$とおく．以下の各問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の増減と極値を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a \neq 0$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．さらに，$\displaystyle S(a)=\frac{1}{3}$となる$a$の値をすべて求めよ．

$a,\ b$は実数で$b>0$とする．行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & 1-a
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \]
が$ABAB=E$を満たしている．ただし$E$は2次の単位行列とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$の式で表せ．
(2)$n$を自然数とする．$A^n=E$を満たす最小の$n$を求めよ．
(3)座標平面上において，$a=2$のとき行列$A$の表す1次変換を$f$とおく．点$\mathrm{P}(1,\ 1)$が$f$によって移る点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$が$f$によって移る点を$\mathrm{R}$とする．このとき$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$S$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$に対して，$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分
\[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \]
を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5)曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．