次の問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell:y=2x$を考える．点Pが$C$上を，点Qが$\ell$上をそれぞれ動くとき，PQの最小値を求めよ．
(2)(1)で，PQが最小値をとる$C$上の点P，$\ell$上の点Qに対し，線分PQ，放物線$C$，直線$\ell$，及び$y$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
(3)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell_k:y=2kx-5$を考える．点Pが$C$上を，点Rが$\ell_k$上をそれぞれ動いたときのPRの最小値が1となる$k$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$で
\[ f(x)+\int_1^x \frac{f(t)}{t} \, dt =3x^2-2x \]
を満たす多項式$f(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で(1)で求めた$f(x)$と$g(x)=1+3 \log x$を考える．このとき関数$f(x)$と$g(x)$のグラフをかけ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x>0 \\
0 \leqq y \leqq 1 \\
g(x) \leqq y \leqq f(x)
\end{array}
\right. \]
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=5,\ \mathrm{CA}=8,\ \angle \mathrm{C}=60^\circ$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と相似な$\triangle \mathrm{DEF}$に円$\mathrm{O}$が内接しているとき，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の相似比を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=5,\ \mathrm{CA}=8,\ \angle \mathrm{C}=60^\circ$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と相似な$\triangle \mathrm{DEF}$に円$\mathrm{O}$が内接しているとき，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の相似比を求めよ．

$x>0$に対して，$\displaystyle f_n(x)=x^{\frac{1}{n}}\log x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f_n(x)$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき，$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい．

$x>0$に対して，$\displaystyle f_n(x)=x^{\frac{1}{n}}\log x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f_n(x)$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき，$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい．

1辺の長さが1の正三角形ABCと，線分BCを$1:2$に内分する点Dが与えられている．実数$x \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対し，線分AB上の点Pと線分AC上の点Qを$\text{AP}=\text{CQ}=x$となるように定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分ADの長さを求めよ．
(2)三角形DPQの面積$S$を$x$の式で表せ．
(3)(2)の$S$について，$S$の最大値と最小値を求めよ．
(4)(2)の$S$の値が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}$となるとき，$x$の値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$に対して，線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を，直線$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{OAB}$の面積を二等分するようにとる．下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標が$t$のとき，直線$\mathrm{PQ}$の方程式と$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲で$t$を動かすとき，直線$\mathrm{PQ}$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=(2 \sin \theta-3 \cos \theta)^2-(2 \sin \theta-3 \cos \theta)+1$の最大値$M$と最小値$m$を求めると，$(M,\ m)=[　]$．
(2)$x^2-4x-3=0,\ x>0$のとき，$2x^4+0x^3+1x^2+2x+2012=p+q\sqrt{7}$を満たす整数$p,\ q$は$(p,\ q)=[　]$．
(3)平面上に$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0)$がある．点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$ \\
の中点で点$\mathrm{X}$は線分$\mathrm{AC}$を$(1-t):t$に内分する点である．ただし， \\
$\displaystyle -4<a<0,\ b>0,\ 0<t<\frac{1}{2}$とする．直線$\mathrm{MX}$と直線$\mathrm{BC}$の \\
交点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BX}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．三角形$\mathrm{BCX}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{XPQ}$の面積を$S_2$とおくと，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=[　]$．
\img{2_2_2012_1}{40}

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^2,\quad g(x)=-ax^2+bx+c \]
と定める．

(1)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$2$つの交点を持つための必要十分条件を求めよ．
(2)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$2$つの交点$(-1,\ 1)$，$(2,\ 4)$を持つとする．このとき，$b$と$c$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$であるとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．