「面積」について
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国立 群馬大学 2012年 第5問$a$は定数で$a<3$とし，$f(x)=x^2-2ax+4a,\ g(x)=-x^2+6x-2a$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$となるときの$a$の値を求めよ．
(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$となるときの$a$の値を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第3問曲線$C:y=x \sin x$について，次の問に答えよ．
(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．
(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．
国立 和歌山大学 2012年 第4問直線$\ell$は，傾きが正で，$2$つの放物線
\begin{align}
& C_1:y=x^2 \nonumber \\
& C_2:y=4x^2+12x \nonumber
\end{align}
に接している．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_1,\ C_2$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\begin{align}
& C_1:y=x^2 \nonumber \\
& C_2:y=4x^2+12x \nonumber
\end{align}
に接している．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_1,\ C_2$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問媒介変数$\theta$を用いて$\displaystyle x=2\cos \theta,\ y=3\sin \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線がある．
(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．
(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．
国立 三重大学 2012年 第5問$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=\bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1,\quad g(x)=- \bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
\[ f(x)=\bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1,\quad g(x)=- \bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=x^2+2 \biggl( 1-\frac{1}{h} \biggr) x +1,\quad g(x)=-x^2+2 \biggl( 1+\frac{1}{h} \biggr) x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
\[ f(x)=x^2+2 \biggl( 1-\frac{1}{h} \biggr) x +1,\quad g(x)=-x^2+2 \biggl( 1+\frac{1}{h} \biggr) x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第2問$\angle$AOBが直角，$\text{OA}:\text{OB}=2:1$である三角形OABがある．$s$は$0<s<1$とし，辺ABを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，OPを$s:(1-s)$に内分する点をQとする．また，線分AQの延長とOBの交点をRとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$が直交するとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=t\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$とおくとき，$t$の値を求めよ．
(3)三角形OQRの面積と三角形BPQの面積の比を，最も簡単な整数の比で表せ．
(1)$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=t\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$とおくとき，$t$の値を求めよ．
(3)三角形OQRの面積と三角形BPQの面積の比を，最も簡単な整数の比で表せ．
国立 徳島大学 2012年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．
(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．
国立 徳島大学 2012年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．
(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell:y=2x$を考える．点Pが$C$上を，点Qが$\ell$上をそれぞれ動くとき，PQの最小値を求めよ．
(2)(1)で，PQが最小値をとる$C$上の点P，$\ell$上の点Qに対し，線分PQ，放物線$C$，直線$\ell$，及び$y$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
(3)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell_k:y=2kx-5$を考える．点Pが$C$上を，点Rが$\ell_k$上をそれぞれ動いたときのPRの最小値が1となる$k$の値を求めよ．
(1)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell:y=2x$を考える．点Pが$C$上を，点Qが$\ell$上をそれぞれ動くとき，PQの最小値を求めよ．
(2)(1)で，PQが最小値をとる$C$上の点P，$\ell$上の点Qに対し，線分PQ，放物線$C$，直線$\ell$，及び$y$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
(3)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell_k:y=2kx-5$を考える．点Pが$C$上を，点Rが$\ell_k$上をそれぞれ動いたときのPRの最小値が1となる$k$の値を求めよ．