関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

座標平面上の放物線$y=x^2$と直線$y=kx+1 \ (k \text{は実数})$の2つの交点をP，Qとし，点Pの$x$座標を$\alpha$，点Qの$x$座標を$\beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$の値を，$k$を用いて表せ．
(2)2点P，Qにおける放物線の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，その交点をRとするとき，点Rの$x$座標を，$k$を用いて表せ．
(3)放物線と(2)の2つの接線$\ell,\ m$で囲まれる部分の面積を，$k$を用いて表せ．

放物線$C:y=x(x-a)$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．

右図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$をとる．$\triangle \mathrm{PAB}$，$\triangle \mathrm{PBC}$， \\
$\triangle \mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_{\mathrm{AB}}$，$S_{\mathrm{BC}}$，$S_{\mathrm{CA}}$とするとき，次の各問 \\
に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内心で，${S_{\mathrm{AB}}}^2+{S_{\mathrm{CA}}}^2={S_{\mathrm{BC}}}^2$が成り立つとき， \\
$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
(2)${S_{\mathrm{AB}}}={S_{\mathrm{BC}}}={S_{\mathrm{CA}}}$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の重心であることを示せ．
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$e$を自然対数の底とし，$\log x$を自然対数とする．次の各問いに答えよ．

(1)$p,\ q$を$p>0,\ q>1$を満たす定数とする．曲線$y=p \log x$と直線$x=q$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$p,\ q$を使って表せ．
(2)2つの曲線$y=\log x,\ y=3 \log x$と2つの直線$x=e,\ x=e^2$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)(2)で与えられた$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$a$は定数で，$0<a<2,\ a \neq 1$とする．2曲線$y=a^x,\ y=2^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$は0でない定数とする．座標平面上の3点A$(a+2,\ a+1)$，B$(9,\ 0)$，C$(2,\ 1)$について，線分ABと線分ACが垂直のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．