$a$を実数とする．関数$y=|x-1|+|x-2|$と関数$y=x+a$のグラフをそれぞれ$G_1,\ G_2$とおく．$G_1$と$G_2$が交点を持つとする．次の問いに答えよ．

(1)$G_1$をかけ．
(2)$G_1$と$G_2$の囲む領域が三角形であるとする．このときの$a$の値の範囲を求め，三角形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)$G_1$と$G_2$の囲む領域が四角形であるとする．このときの$a$の値の範囲を求め，四角形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．

$\displaystyle I_1=\int_0^3 \sqrt{x^2+9} \, dx, I_2=\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$とする．

(1)次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a,\ b$の値を定めなさい．
\[ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}=a\sqrt{x^2+9}+\frac{b}{\sqrt{x^2+9}} \]
(2)$I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．
(3)$\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．
(4)曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

曲線$C:y=x^2+px+q$と$y$軸との交点をQとし，$x$座標$t$が正である曲線$C$上の点をPとする．点Pにおける曲線$C$の接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と直線PQで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$S_1$を$t$で表しなさい．
(3)$S_1:S_2$を求めなさい．

$2$次関数$f(x),\ g(x)$は，それぞれ
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{3x^2}{16}\int_0^1 f(t) \, dt -\frac{3x}{7}\int_{-1}^0 f(t) \, dt+7, \nonumber \\
& & (x-1)g(x) = \int_0^x g(t) \, dt -\frac{2x^3}{3} + 2x^2-2x+1 \nonumber
\end{eqnarray}
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$g(x)$を求めよ．
(3)放物線$y=f(x)$の点$(4,\ f(4))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$a>0$のとき，放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$と垂直な直線を$\ell_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_2$と放物線$C$との交点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる方を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a$の式で表せ．
(2)放物線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の式で表せ．
(3)(2)の$S$の最小値を求めよ．またそのときの$a$の値を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=1,\ \mathrm{BC}=\mathrm{DA}=3$であり，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の長さをそれぞれ$x,\ y$とする．以下の問に答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．また，$S$の最大値$S_0$を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{1}{3}S_0$である四角形$\mathrm{ABCD}$に対して$x^2,\ y^2$の値を求めよ．ただし，$x \leqq y$とし，$S_0$は(1)で求めたものとする．
(3)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$x$で表せ．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大となる$x$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．ただし，$a \geqq b$および$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_1$とする．また点$\mathrm{A}_1$を通って辺$\mathrm{AB}$に平行な直線と，辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{B}_1$とする．次に点$\mathrm{B}_1$から辺$\mathrm{OA}_1$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_2$とし，点$\mathrm{A}_2$を通って辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$に平行な直線と，辺$\mathrm{OB}_1$との交点を$\mathrm{B}_2$とする．以下，この操作を続け，三角形の列
\[ \triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1,\ \triangle \mathrm{OA}_2 \mathrm{B}_2,\ \cdots,\ \triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n \]
をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$は，$\triangle \mathrm{OAB}$に相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n}{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{B}_{n-1}}$を$a,\ b,\ \theta$の式で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_k \mathrm{B}_k$の面積を$S_k$とする．$a=2,\ b=1,\ \theta=30^\circ$のとき，$S_1+S_2+\cdots + S_n$を$n$の式で表せ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=1,\ \mathrm{BC}=\mathrm{DA}=3$であり，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の長さをそれぞれ$x,\ y$とする．以下の問に答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．また，$S$の最大値$S_0$を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{1}{3}S_0$である四角形$\mathrm{ABCD}$に対して$x^2,\ y^2$の値を求めよ．ただし，$x \leqq y$とし，$S_0$は(1)で求めたものとする．
(3)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$x$で表せ．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大となる$x$の値を求めよ．

関数$f(x)=kx^3-3kx \ (k>0)$が表す座標平面上の曲線を$C:y=f(x)$とする．曲線$C$上の2点P$(p,\ f(p))$，Q$(ap,\ f(ap))$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$p>0,\ a \neq 1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．

Oを原点とする座標平面上に点A$(0,\ 1)$があり，点Aからの距離が4である点P$(x,\ y)$が$x>0$，$y>1$をみたすように動く．直線APが$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$，点Pから$x$軸に垂線を下ろしたときの交点をQとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)四角形OAPQを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$V$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$で最大となることを示せ．