放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$の$x$座標は$3$である．点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とおくと，$\angle \mathrm{APB} = 45^\circ$であった．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$m$の傾きを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)$C,\ \ell,\ m$で囲まれた図形において，不等式$x \geqq 0$を満たす部分の面積$S$を求めよ．

曲線$C : y = |x^2-2x|$と傾きが$m$の直線$\ell: y = mx$ついて，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2 +2x$と$\ell$が接する$m$の値を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が原点以外の相異なる2点で交わるような$m$の範囲を求めよ．また，そのときの2つの交点の座標を$m$を用いて表せ．
(3)$m$は(2)で求めた範囲にあるとする．$x \geqq 2,\ y \leqq mx,\ y \geqq |x^2-2x|$で定まる部分の面積$S$を$m$を用いて表せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(0,\ \sin \theta)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．また，点$\mathrm{C}$を$\displaystyle \mathrm{AC}=2,\ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$を満たす第1象限の点とする．さらに，点$\mathrm{C}$から$x$軸に垂線$\mathrm{CD}$を下ろす．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を求めよ．また，$\angle \mathrm{OBA}$と$\angle \mathrm{CBD}$および点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形$\mathrm{AODC}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle S \leqq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AO}+\mathrm{CD} \leqq 2$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
（図は省略）

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{R}(a,\ c)$，$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$，$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) \]
(3)自然数$n$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc}
1 & b \\
1 & -c
\end{array} \biggr) \]
で定める．このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc}
14 & 13 \\
13 & 14
\end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} f(x)$とおく．正の実数$t$に対して，曲線$y=f(x)$，3直線$x=t,\ x=0$および$y=\alpha$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S(t)$の値を求めよ．

半径$1$の円に内接する正$2^n$角形$(n \geqq 2)$の面積を$S_n$，周の長さを$L_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S_n = 2^{n-1} \sin \frac{\pi}{2^{n-1}},\quad L_n=2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^n}$を示せ．

(2)$\displaystyle \frac{S_n}{S_{n+1}}= \cos \frac{\pi}{2^n},\quad \frac{S_n}{L_n}=\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2^n}$を示せ．

(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n,\quad \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi}{2^2}\cos \frac{\pi}{2^3} \cdots \cos \frac{\pi}{2^n}$を求めよ．

(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}2^n \frac{S_2}{L_2}\frac{S_3}{L_3} \cdots \frac{S_n}{L_n}$を求めよ．
（図は省略）

$3$次関数$y = x^3-3x^2+2x$のグラフを$C$，直線$y = ax$を$\ell$とする．

(1)$C$と$\ell$が原点以外の共有点をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲内にあるとき，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x+2} \ (x>-2)$を考える．曲線$C$上の点P$_1 \displaystyle (0,\ \frac{1}{2})$における接線を$\ell_1$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点をQ$_1$，点Q$_1$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_2$とおく．以下同様に，自然数$n \ (n \geqq 2)$に対して，点P$_n$における接線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$x$軸との交点をQ$_n$，点Q$_n$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_{n+1}$とおく．

(1)$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\ell_n$，$x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

$-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$で定義される2つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2} \nonumber \\
& & g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2} \nonumber
\end{eqnarray}
に対し，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$と$g(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

横$2a$，縦$2b$の長方形を長方形の中心のまわりに角$\theta$だけ回転させる．回転後の長方形ともとの長方形とが重なり合う部分の面積$S(\theta)$を求めよ．ただし，長方形の中心とはその2つの対角線の交点とし，長方形はそれを含む平面内で回転するものとする．また，回転角$\theta$は0以上，長方形のいずれかの頂点が隣の頂点に達するまでの角度以下に取るものとする．