$xy$平面上で考える．不等式$y < -x^2+16$の表す領域を$D$とし，不等式$|x-1|+|y| \leqq 1$の表す領域を$E$とする．このとき，以
下の問いに答えよ．

(1)領域$D$と領域$E$をそれぞれ図示せよ．
(2)A$(a,\ b)$を領域$D$に属する点とする．点A$(a,\ b)$を通り傾きが$-2a$の直線と放物線$y=-x^2+16$で囲まれた部分の面積を$S(a,\ b)$とする．$S(a,\ b)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点A$(a,\ b)$が領域$E$を動くとき，$S(a,\ b)$の最大値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(-2,\ 1,\ 3)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$は$\displaystyle\frac{\pi}{2}$より大きいことを示せ．
(2)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAH}$の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．

(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

$a$を正の実数とする．$2$つの放物線
\[ y=\frac{1}{2}x^2-3a \]
\[ y= -\frac{1}{2}x^2 +2ax -a^3 -a^2 \]
が異なる$2$点で交わるとし，$2$つの放物線によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

次の設問に答えよ．

(1)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{n^2+6n+8}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+4}$を満たすような定数$A,\ B$の値を求めよ．また，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+6n+8}$の和を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3,\ \mathrm{AC}=2$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{M}$が平面$\alpha$上にあるとき，$\mathrm{M}$の座標と球面の半径$r$を求めよ．

放物線$y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell_a$とする．

(1)直線$\ell_a$が不等式
\[ y> -x^2+2x-5 \]
の表す領域に含まれるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，直線$\ell_a$が通らない点$(x,\ y)$全体の領域$D$を図示せよ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(y-x^2)(y+x^2-2x+5) \leqq 0 \\
y(y+5) \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$E$とする．$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．

実数$t$は$0<t<1$を満たすとし，座標平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(t,\ 0)$を考える．また線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を$\angle \mathrm{ACO}=\angle \mathrm{BCD}$となるように定める．$t$を動かしたときの三角形$\mathrm{ACD}$の面積の最大値を求めよ．

座標平面上の放物線$C$を$y=x^2+1$で定める．$s,\ t$は実数とし$t<0$を満たすとする．点$(s,\ t)$から放物線$C$へ引いた接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$a$を正の実数とする．放物線$C$と直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれる領域の面積が$a$となる$(s,\ t)$を全て求めよ．

放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) \ (a<0<b)$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角二等辺三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$がある．$C$上の点$\mathrm{P} \displaystyle (t,\ \frac{1}{2}t^2) (t \neq 1)$における接線を，$\mathrm{P}$を中心として反時計回りに$45^\circ$回転して得られる直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．