$x \geqq 0$とする．関数$f(x)=-x^3+x$と関数$g(x)=x^3-x^2$がある．$xy$平面上に曲線$C_1:y=f(x)$および曲線$C_2:y=g(x)$を定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$(1,\ 0)$における曲線$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C_1$の接線と曲線$C_2$の接線が直交するとき，曲線$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$において，$f(x) \geqq g(x)$が成り立つことを示せ．
(4)原点を通り，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれる図形の面積を二等分する直線の方程式を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において
\[ \frac{2 \sqrt{3}}{\sin A}=\frac{2 \sqrt{2}}{\sin B}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin C} \]
が成り立っているとする．このとき，それぞれ次の問いに答えなさい．

(1)$\cos A$の値を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{3}-2$であるとき，$a$の値を求めなさい．
(3)$C$の値を求めなさい．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が次の条件(D)を満たすとする．

\mon[(D)] $A$の成分$a$，$b$，$c$，$d$は整数である．また，平面上の4点$(0,\ 0)$，$(a,\ b)$，$(a+c,\ b+d)$，$(c,\ d)$は，面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす．

$B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ．
(2)$c=0$ならば，$A$に$B$，$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより，4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ．
(3)$|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする．$BA$，$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は，それを$\biggl( \begin{array}{cc}
x & y \\
z & w
\end{array} \biggr)$とすると
\[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \]
を満たすことを示せ．

次の各問に答えよ．

(1)$2$つの曲線$y=x^4$と$y=x^2+2$とによって囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)$n$を$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号をつけた$n$枚の札の組が$2$つある．これら$2n$枚の札をよく混ぜ合わせて，札を$1$枚ずつ$3$回取り出し，取り出した順にその番号を$X_1,\ X_2,\ X_3$とする．$X_1<X_2<X_3$となる確率を求めよ．ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする．

$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(a+3,\ b)$，$\mathrm{C}(a+1,\ b+2)$がある．不等式$y \geqq x^2$の表す領域を$D$，不等式$y \leqq x^2$の表す領域を$E$とする．

(1)点$\mathrm{C}$が領域$D$に含まれ，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が領域$E$に含まれるような$a,\ b$の条件を連立不等式で表せ．
(2)$(1)$で求めた条件を満たす点$(a,\ b)$の領域$F$を$ab$平面上に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$F$の面積を求めよ．

$xyz$空間内の平面$z=2$上に点Pがあり，平面$z=1$上に点Qがある．直線PQと$xy$平面の交点をRとする．

(1)P$(0,\ 0,\ 2)$とする．点Qが平面$z=1$上で点$(0,\ 0,\ 1)$を中心とする半径1の円周上を動くとき，点Rの軌跡の方程式を求めよ．
(2)平面$z=1$上に4点A$(1,\ 1,\ 1)$，B$(1,\ -1,\ 1)$，C$(-1,\ -1,\ 1)$，D$(-1,\ 1,\ 1)$をとる．点Pが平面$z=2$上で点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周上を動き，点Qが正方形ABCDの周上を動くとき，点Rが動きうる領域を$xy$平面上に図示し，その面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，$xy$平面上の曲線$C$の方程式を$y=x^3-a^2x$とする．

(1)$C$上の点A$(t,\ t^3-a^2t)$における$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．ただし，$t$は0でないとする．
(2)$b$を実数とする．$C$の接線のうち$xy$平面上の点B$(2a,\ b)$を通るものの本数を求めよ．
(3)$C$の接線のうち点B$(2a,\ b)$を通るものが2本のみの場合を考え，それらの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_2$はどちらも原点$(0,\ 0)$を通らないとする．$\ell_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$\ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1 \geqq S_2$として，$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．

$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$とする．曲線$C:y=x^2$上の$2$点$\mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{4} \right)$と$\mathrm{Q}(a,\ a^2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線と直交する直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点が$C$上にあるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell,\ m$と曲線$C$で囲まれた図形のうちで$y$軸の右側の部分の面積を求めよ．

$xy$平面上に，点$(0,\ 1)$を通り，傾きが$k$の直線$\ell$がある．

(1)$xy$平面において，$\ell$に関して点P$(a,\ b)$と対称な点をQ$(s,\ t)$とする．このとき，$a,\ b,\ k$を用いて$s,\ t$を表せ．ただし，点P$(a,\ b)$は$\ell$上にないとする．
(2)$xy$平面において，$\ell$に関して原点O$(0,\ 0)$と対称な点をAとする．$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くとき，線分OAの長さの最大値と最小値を求めよ．
(3)$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くときの点Aの軌跡を$C$とする．$C$と直線$y=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xyz$空間に3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$，B$(0,\ \sqrt{3},\ 1)$がある．平面$z=0$に含まれ，中心がO，半径が1の円を$W$とする．点Pが線分OA上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_A$とおく．同様に点Pが線分OB上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_B$とおく．さらに$V_A$と$V_B$の重なり合う部分を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)立体$V$の体積を求めよ．