$t$を$1 \leqq t \leqq 6$を満たす実数とする．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする座標平面上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(3,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 12)$，$\mathrm{D}(1,\ 12)$，$\mathrm{P}(7,\ 0)$，$\mathrm{Q}(t,\ 7t-t^2)$をとる．長方形$\mathrm{ABCD}$と$\triangle \mathrm{OPQ}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて，出た目の合計を$m$とする．このとき，
\[ f \left( \frac{m}{3} \right)<3m \]
となる確率を求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$とする．原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し，$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ．
(2)$\theta$を固定し$b=1$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．
(4)(2)において，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする．面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ．

$a$を正の実数とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を定点とし，点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$を放物線$C:y=x^2$上の点とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AP}$と放物線$C$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$での$C$の接線$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PR}$，線分$\mathrm{RS}$，線分$\mathrm{SQ}$および放物線$C$の一部である曲線$\mathrm{PQ}$によって囲まれる部分の面積$T(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$T(a)$の最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^2-x+\log (x+1) (x>-1)$について，次の問いに答えよ．ただし，不等式$2<e<3$が成り立つことは使ってよい．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点は調べなくてよい．
(2)$a \neq 0$かつ$f(a)=0$となる$a$はただ$1$つあって，$1<a<2$を満たすことを示せ．
(3)区間$[0,\ a]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，区間$[a,\ 4]$において曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=4$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1<S_2$を示せ．

次の問に答えなさい．

(1)放物線$y=x^2+9$の点$(t,\ t^2+9)$における接線と放物線$y=x^2$の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$としたとき，$\alpha+\beta$と$\alpha\beta$をそれぞれ$t$で表しなさい．
(2)放物線$y=x^2+9$の点$(t,\ t^2+9)$における接線と放物線$y=x^2$とで囲まれた図形の面積は，$t$の値によらず一定であることを示しなさい．

三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$であるとする．線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAR}$の面積を求めよ．

放物線$C_1:y=2x^2$と放物線$C_2:y=(x-a)^2+b$を考える．ただし，$a,\ b$は定数で，$a>0$とする．放物線$C_1$と$C_2$がともにある点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$をもつとする．また，点$\mathrm{P}$で$\ell$と直交する直線を$m$とし，$m$と放物線$C_1$，$C_2$との$\mathrm{P}$以外の交点を，それぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式，および，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき，放物線$C_1$と直線$m$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$a$を正の定数とする．曲線$y=|e^{-ax|\sin ax} (x \geqq 0)$において，極大となる点を$x$座標の小さい方から順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を通り，$y$軸に平行な直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とする．$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$および原点を頂点とする三角形の面積を$S_n$とする．

(1)$\mathrm{P}_n$の座標を$a,\ n$を用いて表せ．
(2)$S_n$を$a,\ n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{S_{n+1}}$の値を求めよ．

座標平面の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲において，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\sin 2x$の交点の座標を$(a,\ b)$とし，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\tan x$の交点の座標を$(c,\ d)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$および$d^2$の値を求めよ．
(2)$c>a$であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4},\quad \cos x \leqq y \leqq \sin 2x,\quad y \geqq \tan x \]
の表す領域を図示し，その領域の面積を求めよ．

$a,\ b$は$a<b$を満たす実数とする．正の整数$n$に対し，座標平面上の$(2^n+1)$個の点
\[ \mathrm{P}_k \left( a+\frac{k(b-a)}{2^n},\ \left\{ a+\frac{k(b-a)}{2^n} \right\}^2 \right) \quad \left( k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2^n \right) \]
を考える．$X_n$を$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{2^n}$，$\mathrm{P}_0$をこの順に結んで得られる$(2^n+1)$角形とし，$X_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$S_1$を求めなさい．
(2)$S_2-S_1$，$S_3-S_2$を求めなさい．
(3)$S_n$を求めなさい．