$\triangle \mathrm{ABC}$において，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-5,\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-6,\quad \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-3,\quad \angle \mathrm{BAC}=\theta \]
であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求める．空欄にあてはまる値を解答欄に記入せよ．

条件より，$\mathrm{AB}=[ア]$，$\mathrm{AC}=[イ]$となるから，$\cos \theta=[ウ]$となる．よって，$\sin \theta=[エ]$となるので，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[オ]$となる．

$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．さらに，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形の面積をそれぞれ$S_A,\ S_B,\ S_C$とする．ただし，$\alpha \neq {90}^\circ$とする．

(1)$a$を用いて$S_A$を表せ．
(2)次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ S_A=S_B+S_C-\frac{\sqrt{3}}{\tan \alpha}S \]

座標平面における放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$，および円$C_2:x^2+y^2=2$について，以下の設問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は座標平面における原点をあらわす．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面における$2$つの曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{3}{5}x^2+\frac{2}{5}x$と$C_2:x=3y^2-2y$について，以下の設問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a>1$とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは変曲点をただ$1$つもつ．この変曲点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた変曲点を通り，$y$軸に平行な直線を$\ell$とする．$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{a \to \infty} S$を求めよ．

$a$を正の定数とし，関数 \makebox{$y=a \cos x$} \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_1$，関数 \makebox{$y=\sin x$} \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\theta$とするとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形が，$C_2$によって面積の等しい$2$つの部分に分かれるとする．このとき，$a$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$であり，点$\mathrm{P}$は
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}-15 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4 \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たす点とする．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=[ニ] \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\quad \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{[ネ]}{[ヌ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である．このとき三角形$\mathrm{OAP}$の面積は$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{2}$である．

$0<t<3$とする．曲線$C:y=f(x)=|x^2-3x|+x-3$と曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和は，$\displaystyle t=\frac{[タ]}{[チ]}$のとき最小となり，その値は$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$である．

座標平面上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 6)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{6}{5},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(6,\ 0)$とする．$2$つの半直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$と接する$2$次曲線を
\[ y=ax^2+bx+c \]
とし，$a$を$c$で表すと，$a=[ク]$である．

この$2$次曲線のうち点$(4,\ 1)$を通る曲線は$2$つある．このうち$y$切片の小さい方の$2$次曲線は
\[ y=[ケ]x^2+[コ]x-[サ] \]
であり，この曲線と$x$軸で囲まれる部分の面積は$[シ]$である．

面積$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．正の実数$t$に対し，線分$\mathrm{AM}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，さらに直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{QC}}{\mathrm{AQ}}$を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{MQR}$の面積が最大となる$t$の値と，そのときの面積を求めよ．