放物線$y=x^2-4x+6$と放物線$y=2x^2-7x+8$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，この$2$つの放物線の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{C}$は$\triangle \mathrm{OAB}$の外接円上にあり$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とは異なる点とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[オ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積が等しいとき，点$\mathrm{C}$の座標は$([ケコ],\ [サ])$である．

関数$f(x)=|x^2-2x-3|$と，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=x+1$について考える．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の$x$座標は，小さい順に$[アイ]$，$[ウ]$である．
(2)関数$f(x)$の$-2 \leqq x \leqq 2$における最大値は$[エ]$であり，最小値は$[オ]$である．
(3)曲線$C$と$x$軸により囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(4)曲線$C$と直線$\ell$との交点の$x$座標は，小さい順に$[ケコ]$，$[サ]$，$[シ]$である．

(5)曲線$C$と直線$\ell$により囲まれた$2$つの部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソ]}$である．

$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$で表される放物線$P$と，$x^2+(y-k)^2=r^2 (r>0)$で表される円$Q$がある．放物線$P$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{2} \right)$をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$における放物線$P$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で円$Q$に接するとき，$k$と$r$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$k$と$r$において，次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+(y-k)^2 \geqq r^2 \\
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}

座標平面上に$3$直線$\ell_1:x+5y-5=0$，$\ell_2:2x-3y+3=0$，$\ell_3:5x-y-25=0$がある．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点を順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．それぞれの交点の座標は$\mathrm{A}([ツ],\ [テ])$，$\mathrm{B}([ト],\ [ナ])$，$\mathrm{C}([ニ],\ [ヌ])$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ネ][ノ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通る直線$m$が三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$2$等分するとき，$m$の方程式は，$3x+[ハ][ヒ]y+[フ][ヘ]=0$である．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2-2x-a$と$C_2:y=-x^2-2x+a$について，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの共有点を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S=\frac{9}{2}$となるとき，$a$の値を定めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において定義された$2$つの曲線
\[ y=a \sin 2x,\quad y=\sin 4x \]
について次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数である．

(1)$2$つの曲線が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$で交点を持つように$a$の値の範囲を定めなさい．
(2)$a$が$(1)$で定められた範囲にあるとき，$2$つの曲線によって囲まれた図形は$(1)$の交点を境にして$2$つの部分に分けられる．それらのうち原点を含む部分の面積を$S_1$，原点を含まない部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=4:1$となるように$a$の値を定めなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{6}$，$\mathrm{CA}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{3}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=5$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上の点$\mathrm{P}$が，頂点$\mathrm{C}$を含まない弧$\mathrm{AB}$上にある．次の問いに答えよ．

(1)$\cos C$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AP}=4$を満たすとき，線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が動くとき，$\triangle \mathrm{APB}$の面積の最大値を求めよ．

関数$f(x)=\log x$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るとき，$a$の値を求めよ．
(2)$a$を$(1)$で求めた値とするとき，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における法線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)部分積分法を用いて，$\displaystyle \int \log x \, dx$を計算せよ．
(4)$(2)$で求めた法線$\ell_2$と曲線$y=\log x$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

一辺の長さが$a_1$の正方形$\mathrm{S}_1$がある．以下の図のように，$\mathrm{S}_1$の対角線を一辺とする正方形$\mathrm{S}_2$をつくり，その一辺の長さを$a_2$とする．さらに，$\mathrm{S}_2$の対角線を一辺とする正方形$\mathrm{S}_3$をつくり，その一辺の長さを$a_3$とする．

以下，$1 \leqq n \leqq 7$に対して同様にしてつくられる正方形$\mathrm{S}_n$の一辺の長さを$a_n$とし，$n$個の正方形$\mathrm{S}_1,\ \cdots,\ \mathrm{S}_n$が重なってできる多角形の面積を$A_n$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，正方形は点$\mathrm{O}$を中心として反時計回りに回転するものとする．

(1)$a_n$を$a_1$を用いて表せ．
(2)$A_2$および$A_3$を$a_1$を用いて表せ．
(3)$A_n$を$a_1$を用いて表せ．
（図は省略）