$xy$平面上に，円$K:x^2+y^2=1$と放物線$C:y=x^2-2$がある．$K$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta) (\pi<\theta<2\pi)$における$K$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$で囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)$\ell$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表し，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$k$を実数とする．関数$f(x)=(k-\cos x)(k-\sin x) (0 \leqq x \leqq \pi)$が$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で極値をとるとする．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．

点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$を通り傾きが$m$の直線$\ell$と放物線$C:y=x^2$に対し，次の各問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$の$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，差$\beta-\alpha$を$m$を用いて表せ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積の最小値と，そのときの$m$の値を求めよ．

$b<a^2$を満たす点$\mathrm{P}(a,\ b)$から放物線$C:y=x^2$へ$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引き，その接点をそれぞれ$(\alpha,\ \alpha^2)$，$(\beta,\ \beta^2)$とする．ただし$\alpha<\beta$にとる．放物線$C$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$と$b$を$\alpha$と$\beta$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$S$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が直線$y=x-2$上を動くときの$S$の最小値と，それを与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$があり，その辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^3+y^3=[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2-2x+3$を$x$軸方向に$[ウ]$，$y$軸方向に$[エ]$だけ平行移動すると，放物線$y=x^2+4x+3$が得られる．
(3)$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:1$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は直線であり，その方程式は$[オ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:2$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_1:y=x^2+2x$と放物線$C_2:y=-2x^2-10x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$，$C_2$および直線$\ell:x=-5$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

$a>0$とする．曲線$C:y=a \sqrt{x}-\log x (x>0)$が$x$軸に接するとするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x(\log x)^2 (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線$y=f(x)$と変曲点における接線，および直線$x=1$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=\sin x(1+\cos x) (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．