$a$を正の定数とし，$m$を自然数とする．$xy$平面上の$2$曲線$C_1:y=ax^2 \ (x \geqq 0)$，$C_2:y=(\log x)^{m} \ (x \geqq 1)$および点$\mathrm{P}$は次の条件を満たしている．

$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する．
(1)$a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^m}{x^2} \ (x \geqq 1)$の最大値を求め，$x \geqq 1$において不等式$ax^2 \geqq (\log x)^m$が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，不定積分$\displaystyle \int (\log x)^n \, dx$を$I_n$とおく．$n \geqq 2$のとき，部分積分法により，$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$m=2$のとき，$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を考える．$0<p<q$のとき，$C$上の$2$点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{1}{q} \right)$を通る直線と$C$で囲まれる図形の面積を$S$とし，その図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

(1)$\displaystyle r=\frac{q}{p}$とおくとき，$S$および$V$の値を$p,\ r$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$p=3^{n-1}$，$q=3^{n}$のときの$V$の値を$V_n$とおく．無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$の和を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x$とおく．また，曲線$y=f(x)$上の点$(\alpha,\ f(\alpha))$における接線の方程式を$y=g(x)$とおく．$\alpha>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)直線$y=g(x)$が原点を通るような最小の$\alpha$を$\alpha_1$とし，$\alpha=\alpha_1$のときの$g(x)$を$h(x)$とおく．$\alpha_1$の値と$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において$h(x) \geqq f(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において直線$y=h(x)$と曲線$y=f(x)$で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

$xy$平面において，曲線$\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$と$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}$の原点以外の交点を$\mathrm{P}$とする．また，この$2$つの曲線で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$D$の面積を求めなさい．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(1)点$\mathrm{R}$の座標が$(\sin 2t \sin t,\ \sin 2t \cos t)$で表されることを証明せよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の描く曲線を$C$と表す．曲線$C$上で，$y$座標が最大となる点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$m,\ n$を自然数とするとき，次の不定積分を計算せよ．
\[ \int \cos mx \cos nx \, dx \]
(2)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と，直線$y=x$により囲まれる図形の面積を求めよ．

$x<1$に対して，$f(x)=|x| \log (1-x)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int x \log (1-x) \, dx$を求めよ．
(4)$x \leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標平面上に，半円$C:x^2+y^2=4$（ただし，$x>0$）と放物線$D:x^2-6y+3=0$がある．半円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$（ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$）における半円$C$の接線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)半円$C$と放物線$D$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell$が放物線$D$に点$\mathrm{R}$において接するとき，$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$のとき，半円$C$と放物線$D$および直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

円$C_1:x^2-4x+y^2=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$がある．次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，原点$\mathrm{O}$を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る放物線$C_2$の方程式を$y=ax^2$とする．$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを$\tan \theta$と表す．そのときの$\theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)円$C_1$と直線$\ell$で囲まれた図形のうち，直線$\ell$の上側にある部分の面積$S_1$を求めよ．
(4)円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_2$の上側にある部分の面積$S_2$を求めよ．
(5)放物線$C_2$の接線で，直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるものを考える．そのすべてについて，接点の$x$座標を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において，曲線$C_1:y=\sin 2x$と曲線$C_2:y=\cos x$の交点の$x$座標を$a,\ b,\ c \ (a<b<c)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)交点$(b,\ \sin 2b)$における$2$つの曲線$C_1$と$C_2$のそれぞれの接線は垂直ではないことを示せ．
(3)$a \leqq x \leqq b$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$b \leqq x \leqq c$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$2$つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．
(4)曲線$C_1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．