$\displaystyle 0<a<\frac{1}{3},\ b>0$とする．放物線$y=x^2-2a^2x$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C$とする．直線$\ell:y=b$と$C$とが$0<x<a$の範囲で交わっている．さらに，$C$と$\ell$と$y$軸で囲まれる部分の面積と，$C$と$\ell$と直線$x=a$で囲まれる部分の面積が等しい．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$b$を最大にする$a$の値と，そのときの$b$の値を求めよ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{AB}$とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点$\mathrm{E}$が$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分するとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAD}={120}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．

平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．

一辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の頂点から異なる$3$点を選び，これらを頂点とする三角形を作る．次の問いに答えよ．

(1)作られる三角形が正三角形となる確率を求めよ．
(2)作られる三角形の面積の期待値を求めよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}-1$をみたす実数とする．座標平面上に$6$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{P}(t-1,\ 0)$，$\mathrm{Q}(t,\ 1)$，$\mathrm{R}(t+1,\ 0)$がある．$2$直線$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$，$2$直線$\mathrm{QR}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$の$x$座標をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$と三角形$\mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$S$とおく．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるような$t$の値を求めよ．

$t$を$0 \leqq t<2$をみたす定数とする．放物線$y=(x-2)^2$上の点$(t,\ (t-2)^2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と$x$軸の交点を求めよ．
(3)直線$\ell$と$x$軸，$y$軸によって囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$0 \leqq t<2$において$S(t)$が最大となるときの$t$の値と$S(t)$の値を求めよ．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限の部分を$C$とする．曲線$y=f(x) \ (0<x<1)$は第$4$象限にあり，かつすべての$x_1 \ (0<x_1<1)$について，点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$C$上の点$(x_1,\ y_1)$における$C$の接線と直交しているとする．曲線$y=f(x)$上の動点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ．
(3)$x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち，線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ．
(4)$f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$の，直線$y=mx$と平行な$2$接線を$\ell_1$，$\ell_1^\prime$とし，$\ell_1$，$\ell_1^\prime$に直交する$C$の$2$接線を$\ell_2$，$\ell_2^\prime$とする．

(1)$\ell_1$，$\ell_1^\prime$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_1^\prime$の距離$d_1$および$\ell_2$と$\ell_2^\prime$の距離$d_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．ただし，平行な$2$直線$\ell$，$\ell^\prime$の距離とは，$\ell$上の$1$点と直線$\ell^\prime$の距離である．
(3)$(d_1)^2+(d_2)^2$は$m$によらず一定であることを示せ．
(4)$\ell_1$，$\ell_1^\prime$，$\ell_2$，$\ell_2^\prime$で囲まれる長方形の面積$S$を$d_1$を用いて表せ．さらに$m$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．