「面積」について
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国立 小樽商科大学 2013年 第4問正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$が下図のように与えられている．正方形$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，正方形$\mathrm{A}_3 \mathrm{B}_3 \mathrm{C}_3 \mathrm{D}_3$，$\cdots$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，正方形$\mathrm{A}_{n+1} \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{C}_{n+1} \mathrm{D}_{n+1}$，$\cdots$を順に考える．ただし，$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$はそれぞれ順に$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$，$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$の中点，$\mathrm{O}$は$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}_1$の中点である．正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．その時，$\displaystyle \frac{S_n}{S_1}$が初めて$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる$n$の値とその時の$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{OA}_n$を求めよ．$\log_{10}2=0.301$とする．
（図は省略）
（図は省略）
国立 室蘭工業大学 2013年 第1問$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)=ax^2-4x+b$は，条件
\[ x^2f^{\prime\prime}(x)-xf^\prime(x)+f(x)=x^2+8 \]
を満たすとする．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$が，放物線$y=x^2$の接線であり，かつ放物線$y=f(x)$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2$と$y=f(x)$，および$(2)$で求めた接線$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
\[ x^2f^{\prime\prime}(x)-xf^\prime(x)+f(x)=x^2+8 \]
を満たすとする．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$が，放物線$y=x^2$の接線であり，かつ放物線$y=f(x)$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2$と$y=f(x)$，および$(2)$で求めた接線$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2013年 第2問$2$つの曲線
\[ y=\cos^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{と} \quad y=\sin^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を，それぞれ$C_1$と$C_2$とする．
(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(3)$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ y=\cos^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{と} \quad y=\sin^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を，それぞれ$C_1$と$C_2$とする．
(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(3)$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2013年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^3+ax^2+bx+c$で定義される曲線$y=f(x)$は，$3$点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$，$(-2,\ 0)$を通る．また，曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1$だけ移動した曲線を$y=g(x)$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は実数とする．次の各問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq f(x) \\
y \geqq g(x)
\end{array} \right. \]
で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq f(x) \\
y \geqq g(x)
\end{array} \right. \]
で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．
国立 佐賀大学 2013年 第4問関数$f(x)=xe^{-2x}$に関して次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-2x}=0$を使ってよい．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうちで傾きが最小となるものを$\ell$とする．その接線$\ell$の方程式と接点$(a,\ f(a))$を求めよ．
(3)$x<a$において，接線$\ell$は曲線$y=f(x)$より常に上側にあることを証明せよ．ただし，$a$は(2)で求めたものとする．
(4)曲線$y=f(x)$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-2x}=0$を使ってよい．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうちで傾きが最小となるものを$\ell$とする．その接線$\ell$の方程式と接点$(a,\ f(a))$を求めよ．
(3)$x<a$において，接線$\ell$は曲線$y=f(x)$より常に上側にあることを証明せよ．ただし，$a$は(2)で求めたものとする．
(4)曲線$y=f(x)$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 茨城大学 2013年 第3問平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき$t$の値を求めよ．
国立 茨城大学 2013年 第3問平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき，$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき，$t$の値を求めよ．
国立 茨城大学 2013年 第4問連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\quad -\cos x \leqq y \leqq \sin 2x \]
の表す領域を$D$とする．以下の各問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$の面積を求めよ．
(3)領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転したときにできる立体の体積を求めよ．
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\quad -\cos x \leqq y \leqq \sin 2x \]
の表す領域を$D$とする．以下の各問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$の面積を求めよ．
(3)領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転したときにできる立体の体積を求めよ．
国立 茨城大学 2013年 第1問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上を運動する点$\mathrm{P}(x,\ y)$が
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．（$C$は右図のように \\
なっている．）以下の各問に答えよ．
\img{85_2188_2013_1}{40}
(1)曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ．
(4)$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．$c=\cos t$として，$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ．
(5)(4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき，直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ．
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．（$C$は右図のように \\
なっている．）以下の各問に答えよ．
\img{85_2188_2013_1}{40}
(1)曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ．
(4)$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．$c=\cos t$として，$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ．
(5)(4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき，直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ．
国立 奈良教育大学 2013年 第4問関数$f(x)$を
\[ f(x)=2 \sin \left( \frac{1}{2} \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \right) \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
とする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$のグラフを描け．
(4)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を結んだ直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積を求めよ．
\[ f(x)=2 \sin \left( \frac{1}{2} \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \right) \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
とする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$のグラフを描け．
(4)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を結んだ直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積を求めよ．