$x \geqq 2$とし，区間$-1 \leqq t \leqq 1$における$f(t)=4t^3-x^2t$の最大値を$M(x)$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=M(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=M(x)$と$y$軸および$2$直線$\displaystyle y=\frac{8 \sqrt{3}}{9},\ y=10$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$y=-x(x-a)$で与えられる放物線$C_1$と関数$y=a-|ax+b|$のグラフ$C_2$が原点で接している．ただし，実数$a$は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a=2$のとき，$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(3)(2)において$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積と，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積の比を求めよ．

$y=-x(x-a)$で与えられる放物線$C_1$と関数$y=a-|ax+b|$のグラフ$C_2$が原点で接している．ただし，実数$a$は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a=2$のとき，$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(3)(2)において$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積と，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積の比を求めよ．

実数$a>0$と$k>0$に対して$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^3,\quad C_2:y=k \log x \quad (x>0) \]
を考える．ここで，$\log x$は$x$の自然対数とする．$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k$を$a$を用いて表せ．
(3)$k=4$のとき，$C_1$，$C_2$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

実数$a>0$と$k>0$に対して$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2,\quad C_2:y=k \log x \quad (x>0) \]
を考える．ここで，$\log x$は$x$の自然対数とする．$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k$を$a$を用いて表せ．
(3)$k=2e$のとき，$C_1$，$C_2$および$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(4)(3)の$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$2$曲線$\displaystyle C_1:y=\left( x-\frac{1}{2} \right)^2-\frac{1}{2}$，$\displaystyle C_2:y=\left( x-\frac{5}{2} \right)^2-\frac{5}{2}$の両方に接する直線を$\ell$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$k$を整数とし，$0 \leqq x \leqq \pi$において，
\[ f(x)=e^x \sin \left\{ (4k+1)x \right\},\quad g(x)=e^x \sin x \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．

$f(x)=e^{-x}$とする．実数$t$に対し，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$を考える．

(1)$t \geqq 0$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(2)$k$を自然数とし，$t=k \log 2$であるときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_k$とする．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{2}$，$\angle \mathrm{B}=\theta$，$\mathrm{BC}=a$である．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AP}_1$を下ろし，点$\mathrm{P}_1$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$を下ろす．同様に，点$\mathrm{Q}_1$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$を下ろし，点$\mathrm{P}_2$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$を下ろす．この操作を繰り返し，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_3$をそれぞれ定める．また，$\mathrm{AP}_1$と$\mathrm{CQ}_1$の交点を$\mathrm{R}_1$，$\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_2$の交点を$\mathrm{R}_2$，$\mathrm{Q}_2 \mathrm{P}_3$と$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_3$の交点を$\mathrm{R}_3$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AP}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}_1$を$\overrightarrow{\mathrm{CP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{R}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{C}$の面積$S_1$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{R}_3 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の面積$S_3$を求めよ．

$f(x)=e^{-x}$とする．$t \geqq 0$に対して，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$および原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(1)$t=0$のとき，$S$を求めよ．
(2)$t \geqq 0$のとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$S$の最大値を求めよ．