関数$\displaystyle f(x)=\log (x+1)-\frac{1}{2}\log (x^2+1) \ (x>-1)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．
(2)$k$を実数とする．$x$についての方程式$f(x)=k$の相異なる実数解の個数を調べよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{AB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(3)$p \geqq 0$であるとき$\displaystyle \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OA}}$の値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{N}$が線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分するとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

不等式$(x+y)(x-y+4) \geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$y \geqq x^2+4x$の表す領域を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．

半径$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，中心角$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=2 \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の扇形$\mathrm{OAB}$に内接し，その$2$辺が弦$\mathrm{AB}$と平行であるような長方形$\mathrm{PQRS}$について考える．頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は弧$\mathrm{AB}$上に，残りの$2$頂点はそれぞれ辺$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$上にあるとして，$\angle \mathrm{POQ}=2\alpha$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を，$\alpha$と$\theta$の三角比を用いて表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積が最大になるときの$\alpha$を$\theta$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値を求めよ．

不等式$(x+y)(x-y+4) \geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$y \geqq x^2+4x$の表す領域を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．

半径$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，中心角$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=2 \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の扇形$\mathrm{OAB}$がある．長方形$\mathrm{PQRS}$は，扇形$\mathrm{OAB}$に内接し，その$2$辺が弦$\mathrm{AB}$と平行であるような長方形の中で面積が最大のものである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が弧$\mathrm{AB}$上にあるとして，$\angle \mathrm{POQ}=2\alpha$とするとき，$\alpha$を$\theta$で表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を$\theta$の三角比を用いて表せ．
(3)長方形$\mathrm{PQRS}$が正方形であるときの$\theta$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$に対して，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
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(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を曲線$C$とする．曲線$C$と直線$y=mx$の交点を点$\mathrm{P}$，曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$との交点を点$\mathrm{Q}$とする．ここで傾き$m$を$\displaystyle m>\frac{1}{2}$の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ．
(3)接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を，$m$を用いて表せ．
(4)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$とする．曲線$C$と$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を，$m$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と，$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を，$m$を用いて表せ．

$\mathrm{AB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\theta \ \left( 0<\theta<\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$である$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$またはその延長に垂線$\mathrm{BP}$を下ろし，点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta=t$とするとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$t$を用いて表せ．
(2)$\theta$を動かすとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積の最大値を求めよ．