$xy$平面上で，点$(1,\ 0)$までの距離と$y$軸までの距離の和が2である点の軌跡を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)円$\displaystyle x^2+y^2=\frac{9}{4}$と$C$の交点の$x$座標をすべて求めよ．さらに，交点の個数を求めよ．

$1$辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{CE}=t$とする．

(1)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{DAE}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ADE}$の面積が最小になるときの$t$の値とそのときの面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$a>0$とする．放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$上に$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{4} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{b^2}{4} \right)$をとる．点$\mathrm{A}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$と$n_\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{B}$と$n_\mathrm{B}$とおいたとき，$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$が直交しているものとする．$2$つの接線$\ell_\mathrm{A},\ \ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$2$つの法線$n_\mathrm{A},\ n_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)長方形$\mathrm{AQBP}$の面積が最小となるような$a$の値と，そのときの面積を求めよ．

$a$は$0$でない実数とする．直線$y=ax$と曲線$y=x \log (x+1)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$r$を$1$より大きい実数とする．半径$1$の円$C$の周上に点$\mathrm{Q}$をとる．最初に円$C$の中心$\mathrm{P}$は座標平面の$(0,\ 1)$，点$\mathrm{Q}$は$(0,\ 2)$にあるものとし，円$C$が$x$軸に接しながら$x$軸の正の方向にすべることなく転がっていく．角$\theta$ラジアンだけ回転したとき，半直線$\mathrm{PQ}$上に$\mathrm{PR}=r$となる点$\mathrm{R}$をとる．$\theta$を$0$から$2\pi$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を考える．

(1)$\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi$をみたし，$\theta=\alpha$のときの$\mathrm{R}$の座標と$\theta=\beta$のときの$\mathrm{R}$の座標とが一致するものとする．$\displaystyle t=\frac{\beta-\alpha}{2}$とおくとき，$r$を$t$を用いて表せ．
(2)(1)において，$\theta$を$\alpha$から$\beta$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡によって囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{S}{r^2}$を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とし，円$C_1:(x-a)^2+y^2=a^2$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$を考える．

(1)$C_1$が$C_2$に内接するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt{3}}$とし，$C_1$が$C_2$に内接しているとする．このとき，第1象限における$C_1$と$C_2$の接点の座標$(p,\ q)$を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，$x \geqq p$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$n$は自然数とする．

(1)$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して
\[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)媒介変数$t$によって
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．ただし必要なら
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \]
を用いてよい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
（図は省略）

$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を実数の定数とする．$2$曲線$y=x^2$と$\displaystyle y=\frac{4}{x+a}$がちょうど$2$つの共有点を持っているとき，下の問いに答えなさい．

(1)$a$の値を求めなさい．
(2)$2$曲線で囲まれた図形の面積を求めなさい．