座標平面上に点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0<\theta<\pi)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -1< \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \leqq \frac{1}{2}$となる$\theta$の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で定める．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{POQ}$の面積の最大値を求めよ．

$C$を$xy$平面上の放物線$y=x^2$とする．不等式$y<x^2$で表される領域の点$\mathrm{P}$から$C$に引いた$2$つの接線に対して，それぞれの接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．また，$2$つの接線と$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，等式
\[ \int_p^q (x-p)^2 \, dx=\frac{(q-p)^3}{3} \]
を用いてもよい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(a,\ b)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\frac{(\beta-\alpha)^3}{12}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3-1 \ (-1 \leqq x \leqq 1)$上を動くとき，$(\beta-\alpha)^2$の値の範囲を調べよ．さらに，$S$の最大値および最小値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

平面上の$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$かつ$\angle \mathrm{AOB}=\theta \ (0<\theta<\pi)$を満たすとする．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$t>1$として，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$となるように定める．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S$を$t$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$のとき，$S$を$t$のみを用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$のとき，$S$が最大となる$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$x \geqq 2$のとき，$x^4e^{-3x} \leqq 16e^{-6}$を示せ．また，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^3e^{-3x}$を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$x>0$の範囲で方程式
\[ xe^{-3x}=\frac{k}{x^2} \]
がちょうど$2$つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の$\alpha,\ \beta$が$\beta=2 \alpha$を満たすとき，曲線$y=xe^{-3x} (x>0)$と曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x^2} (x>0)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

半径1の円盤$C_1$が半径2の円盤$C_2$に貼り付けられており，2つの円盤の中心は一致する．$C_2$の周上にある定点を$\mathrm{A}$とする．図のように，時刻$t=0$において$C_1$は$\mathrm{O}(0,\ 0)$で$x$軸に接し，$\mathrm{A}$は座標$(0,\ -1)$の位置にある．2つの円盤は一体となり，$C_1$は$x$軸上をすべることなく転がっていく．時刻$t$で$C_1$の中心が点$(t,\ 1)$にあるように転がるとき，$0 \leqq t \leqq 2\pi$において$\mathrm{A}$が描く曲線を$C$とする．

(1)時刻$t$における$\mathrm{A}$の座標を$(x(t),\ y(t))$で表す．$(x(t),\ y(t))$を求めよ．
(2)$x(t)$と$y(t)$の$t$に関する増減を調べ，$x(t)$あるいは$y(t)$が最大値または最小値をとるときの$\mathrm{A}$の座標を全て求めよ．
(3)$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
（図は省略）

一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+x-1$と直線$\ell:y=2x+1$の交点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた交点の$x$座標の大きい方を$x_0$とする．$a>x_0$とする．$C$と$\ell$で囲まれた領域の面積を$S_1$，$C$と$\ell$および直線$x=a$で囲まれた領域の面積を$S_2$，$C$と$\ell$および直線$x=-a$で囲まれた領域の面積を$S_3$とする．$S_1=S_2+S_3$となるときの$a$の値を求めよ．

曲線$C:y=e^x$について以下の問いに答えよ．

(1)$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ e^p)$における接線$\ell$および法線$n$の方程式を求めよ．
(2)$p>0$とする．$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S(p)$とする．また$C$と$n$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$T(p)$とする．このとき極限$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\frac{pT(p)}{S(p)}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\log_3(x-2)+2 \log_9(x-4)<1$を解け．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の座標軸上に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{6},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．この$4$点により定まる長方形$\mathrm{PQRS}$の面積$M(t)$が最大となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta \ (0<\theta<\pi)$を求めよ．
(3)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．