「面積」について
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国立 一橋大学 2013年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，放物線$C:y=1-x^2$がある．$C$上に$2$点$\mathrm{P}(p,\ 1-p^2)$，$\mathrm{Q}(q,\ 1-q^2)$を$p<q$となるようにとる．
(1)$2$つの線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積$S$を，$p$と$q$の式で表せ．
(2)$q=p+1$であるとき$S$の最小値を求めよ．
(3)$pq=-1$であるとき$S$の最小値を求めよ．
(1)$2$つの線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積$S$を，$p$と$q$の式で表せ．
(2)$q=p+1$であるとき$S$の最小値を求めよ．
(3)$pq=-1$であるとき$S$の最小値を求めよ．
国立 埼玉大学 2013年 第3問辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=k \ (0<k<1)$の長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$で三角形$\mathrm{ADM}$を折り返したとき頂点$\mathrm{D}$が重なる点を$\mathrm{E}$とする．ただし，点$\mathrm{E}$は長方形の外にはみ出る場合もある．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき，$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積のちょうど2倍になるときの$k$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき，$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積のちょうど2倍になるときの$k$の値を求めよ．
国立 北海道大学 2013年 第1問$a$と$b$を正の実数とする．$\displaystyle y=a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_1$，$\displaystyle y=b \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．
(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．このとき，$\sin t$および$\cos t$を$a$と$b$で表せ．
(2)$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた領域の面積$S$を$a$と$b$で表せ．
(3)$C_1,\ C_2$と直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた領域の面積を$T$とする．このとき，$T=2S$となるための条件を$a$と$b$で表せ．
(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．このとき，$\sin t$および$\cos t$を$a$と$b$で表せ．
(2)$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた領域の面積$S$を$a$と$b$で表せ．
(3)$C_1,\ C_2$と直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた領域の面積を$T$とする．このとき，$T=2S$となるための条件を$a$と$b$で表せ．
国立 北海道大学 2013年 第4問実数$t$が$0 \leqq t<8$をみたすとき，点$\mathrm{P}(t,\ t^3-8t^2+15t-56)$を考える．
(1)点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$に$2$本の異なる接線が引けることを示せ．
(2)$(1)$での$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{PR}$と放物線$y=x^2$で囲まれた領域の面積$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$に$2$本の異なる接線が引けることを示せ．
(2)$(1)$での$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{PR}$と放物線$y=x^2$で囲まれた領域の面積$S(t)$を$t$を用いて表せ．
国立 名古屋大学 2013年 第2問平面上に同じ点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_1$と半径$2$の円$C_2$があり，$C_1$の周上に定点$\mathrm{A}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ$C_1$，$C_2$の周上を反時計回りに動き，ともに時間$t$の間に弧長$t$だけ進む．時刻$t=0$において，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$の位置にあって$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はこの順に同一直線上に並んでいる．$0 \leqq t \leqq 4\pi$のとき$\triangle \mathrm{APQ}$の面積の$2$乗の最大値を求めよ．
国立 大阪大学 2013年 第3問曲線$y=x^2+x+4-|3x|$と直線$y=mx+4$で囲まれる部分の面積が最小となるように定数$m$の値を定めよ．
国立 岡山大学 2013年 第2問等式
\[ |x-3|+|y|=2(|x+3|+|y|) \]
を満たす$xy$平面上の点$(x,\ y)$からなる図形を$T$とする．
(1)点$(a,\ b)$が$T$上にあれば，点$(a,\ -b)$も$T$上にあることを示せ．
(2)$T$で囲まれる領域の面積を求めよ．
\[ |x-3|+|y|=2(|x+3|+|y|) \]
を満たす$xy$平面上の点$(x,\ y)$からなる図形を$T$とする．
(1)点$(a,\ b)$が$T$上にあれば，点$(a,\ -b)$も$T$上にあることを示せ．
(2)$T$で囲まれる領域の面積を求めよ．
国立 岡山大学 2013年 第1問曲線$\displaystyle y=|x-\displaystyle\frac{1|{x}} \ (x>0)$と直線$y=2$で囲まれた領域の面積$S$を求めよ．
国立 岡山大学 2013年 第3問$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$に対して，$d(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2)$を
\[ d(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| \]
で定義する．いま点$\mathrm{A}(3,\ 0)$と点$\mathrm{B}(-3,\ 0)$に対して，
\[ d(\mathrm{Q},\ \mathrm{A})=2d(\mathrm{Q},\ \mathrm{B}) \]
を満たす点$\mathrm{Q}$からなる図形を$T$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$(a,\ b)$が$T$上にあれば，点$(a,\ -b)$も$T$上にあることを示せ．
(2)$T$で囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$の座標を$(13,\ 8)$とする．点$\mathrm{D}$が$T$上を動くとき，$d(\mathrm{D},\ \mathrm{C})$の最小値を求めよ．
\[ d(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| \]
で定義する．いま点$\mathrm{A}(3,\ 0)$と点$\mathrm{B}(-3,\ 0)$に対して，
\[ d(\mathrm{Q},\ \mathrm{A})=2d(\mathrm{Q},\ \mathrm{B}) \]
を満たす点$\mathrm{Q}$からなる図形を$T$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$(a,\ b)$が$T$上にあれば，点$(a,\ -b)$も$T$上にあることを示せ．
(2)$T$で囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$の座標を$(13,\ 8)$とする．点$\mathrm{D}$が$T$上を動くとき，$d(\mathrm{D},\ \mathrm{C})$の最小値を求めよ．
国立 広島大学 2013年 第1問放物線$y=2x^2-8$を$C$とする．$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0) \ (a>0)$を通り$C$と接する直線が$2$本あるとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$つの接点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha=3$のとき，$a$の値と$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$本の接線と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$つの接点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha=3$のとき，$a$の値と$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$本の接線と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．