放物線$C:y=x^2$，直線$\ell_1:y=-x+2$とする．このとき，次の$(1)$と$(2)$の設問に答えなさい．$(2)$では図も示しなさい．

(1)放物線$C$と直線$\ell_1$の交点における接線の方程式を求めなさい．
(2)放物線$C$と$(1)$で求めた接線とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

曲線$①$は点$(-2,\ 0)$，曲線$②$は点$(0,\ -2)$を通り，両者は原点および$(-1,\ -1)$で交わる．このとき，次の$(1)$および$(2)$の設問に答えなさい．

$y=ax^2+bx+c \cdots\cdots①$
$x=dy^2+ey+f \cdots\cdots②$


(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$にあてはまる係数を求めなさい．
(2)曲線$①$および$②$を図示し，両曲線によって囲まれた部分の面積を求めなさい．

$\mathrm{AD}=t$（ただし，$t>0$），$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=1$，$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{CDA}={90}^\circ$である四面体$\mathrm{ABCD}$がある．次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{AMD}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{D}$から$\triangle \mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の長さを求めよ．

$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$について，$f(x)$が$x=-1$で極大値$\displaystyle \frac{5}{3}$をとり，$x=3$で極小値$-9$をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフを$G$とし，その接線$\ell$が点$(2,\ -6)$を通るとき，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)グラフ$G$と接線$\ell$との共有点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．グラフ$G$上の点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

$3$つのサイコロを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$a-c$の値を$p$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a \geqq b \geqq c$とする．

(1)$p=0$となる確率を求めよ．
(2)$p=1$となる確率を求めよ．
(3)$y=px$，$y=0$，$x=2$の$3$つの直線で囲まれる図形の面積の期待値を求めよ．

曲線$C:y=(x^2-x-1)^2-1$と直線$\ell_a:y=a \ (a \text{は実数})$を考える．

(1)曲線$C$と直線$\ell_a$の共有点の個数を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積の和を求めよ．

$xy$平面内で，$y$軸上の点$\mathrm{P}$を中心とする円$C$が$2$つの曲線
\[ C_1:y=\sqrt{3}\log (1+x),\quad C_2:y=\sqrt{3}\log (1-x) \]
とそれぞれ点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$で接しているとする．さらに$\triangle \mathrm{PAB}$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$y$軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき$3$つの曲線$C$，$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\alpha,\ \beta$を実数とする．$xy$平面内で，点$(0,\ 3)$を中心とする円$C$と放物線
\[ y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta \]
が点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$を共有し，さらに$\mathrm{P}$における接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)円$C$，放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$t$は$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とする．放物線$y=x^2$，直線$x=1$，および$x$軸とで囲まれた図形を$A$，放物線$y=4(x-t)^2$と直線$y=1$とで囲まれた図形を$B$とする．$A$と$B$の共通部分の面積を$S(t)$とする．

(1)$S(t)$を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 1$における$S(t)$の最大値を求めよ．

平面上の4点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ \mathrm{OA}=4,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \]
を満たすとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．