「面積」について
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私立 北海学園大学 2014年 第3問対角線が$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$である平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積は$8 \sqrt{15}$であり，三角形$\mathrm{ABD}$は鋭角三角形である．このとき，頂点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とし，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{AH}=x$，$\mathrm{BD}=y$とする．ただし，$x>0$，$y>0$とする．
(1)$1 \leqq x \leqq 7$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．
(2)$x=1$のとき，三角形$\mathrm{ABD}$の内接円の面積$S$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の内接円と三角形$\mathrm{BCD}$の内接円が接するとき，$x$の値を求めよ．
(1)$1 \leqq x \leqq 7$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．
(2)$x=1$のとき，三角形$\mathrm{ABD}$の内接円の面積$S$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の内接円と三角形$\mathrm{BCD}$の内接円が接するとき，$x$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2014年 第4問関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx-8$と$g(x)=x^2-4x+8$がある．$f(x)$は$x=2$で極大値$0$をとり，$x=p$で極小値$f(p)$をとる．また，曲線$y=f(x)$が点$(1,\ -4)$を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．また，極小値$f(p)$を求めよ．
(2)曲線$y=g(x)$に点$(p,\ f(p))$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．また，極小値$f(p)$を求めよ．
(2)曲線$y=g(x)$に点$(p,\ f(p))$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2014年 第2問関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx-8$と$g(x)=x^2-4x+8$がある．$f(x)$は$x=2$で極大値$0$をとり，$x=p$で極小値$f(p)$をとる．また，曲線$y=f(x)$が点$(1,\ -4)$を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．また，極小値$f(p)$を求めよ．
(2)曲線$y=g(x)$に点$(p,\ f(p))$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．また，極小値$f(p)$を求めよ．
(2)曲線$y=g(x)$に点$(p,\ f(p))$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 東北学院大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{6}$，$\mathrm{BC}=3$，$\angle \mathrm{BCA}=\theta$とする．$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{CA}$上に$\mathrm{CQ}=3$となる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(1)辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{CA}$上に$\mathrm{CQ}=3$となる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
私立 東北学院大学 2014年 第3問$a$を負の定数とし，放物線$y=a(x+1)(x-3)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(2,\ -3a)$における$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．
(1)直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAP}$の面積が$\displaystyle \frac{7}{4}$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a$に対し，線分$\mathrm{OP}$，$y$軸および放物線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAP}$の面積が$\displaystyle \frac{7}{4}$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a$に対し，線分$\mathrm{OP}$，$y$軸および放物線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 広島工業大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}(1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ -3)$，$\mathrm{D}(-4,\ 0)$に対して，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{F}$とする．$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のうち，$\mathrm{E}$との距離より$\mathrm{F}$との距離の方が小さい点の集合$X$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ -5,\ -3)$に対して，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\cos {40}^\circ=0.766$を用いて，$\cos {100}^\circ$の値を求めよ．ただし，答えは小数第$3$位を四捨五入せよ．
(1)点$\mathrm{A}(1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ -3)$，$\mathrm{D}(-4,\ 0)$に対して，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{F}$とする．$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のうち，$\mathrm{E}$との距離より$\mathrm{F}$との距離の方が小さい点の集合$X$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ -5,\ -3)$に対して，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\cos {40}^\circ=0.766$を用いて，$\cos {100}^\circ$の値を求めよ．ただし，答えは小数第$3$位を四捨五入せよ．
私立 広島工業大学 2014年 第2問曲線$C:y=-5x^3+21x$と直線$\ell:y=x$の交点のうち$x$座標が正である点を$\mathrm{A}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$\triangle \mathrm{OAP}$の面積$S$を$t$の式で表せ．ただし，$0<t<2$とする．
(3)$0<t<2$とするとき，$(2)$で求めた$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$\triangle \mathrm{OAP}$の面積$S$を$t$の式で表せ．ただし，$0<t<2$とする．
(3)$0<t<2$とするとき，$(2)$で求めた$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
私立 広島工業大学 2014年 第4問$a$を定数とする．直線$\ell:y=6ax$，曲線$C:y=|3x^2-6x|$について，次の問いに答えよ．
(1)$\ell$と$C$の共有点が$3$個になるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$とし，$\ell$と$C$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，$\ell$と$C$で囲まれた部分のうち$x$座標が$x_2$以上の部分の面積を求めよ．
(1)$\ell$と$C$の共有点が$3$個になるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$とし，$\ell$と$C$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，$\ell$と$C$で囲まれた部分のうち$x$座標が$x_2$以上の部分の面積を求めよ．
私立 成城大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線を$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$とする．
(1)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さを$S,\ a,\ b,\ c$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さの比が$1:2:3$になることはあり得ないことを証明せよ．
(1)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さを$S,\ a,\ b,\ c$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さの比が$1:2:3$になることはあり得ないことを証明せよ．
私立 星薬科大学 2014年 第5問$2$つの放物線$C_1:y=x^2-3$，$C_2:y=x^2-6x+9$と，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線$\ell$について次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$との交点の座標は$([$42$],\ [$43$])$である．
(2)$C_1$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$44$]}{[$45$]},\ -\frac{[$46$][$47$]}{[$48$]} \right)$であり，$C_2$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$49$]}{[$50$]},\ \frac{[$51$]}{[$52$]} \right)$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$]}$である．
(1)$C_1$と$C_2$との交点の座標は$([$42$],\ [$43$])$である．
(2)$C_1$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$44$]}{[$45$]},\ -\frac{[$46$][$47$]}{[$48$]} \right)$であり，$C_2$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$49$]}{[$50$]},\ \frac{[$51$]}{[$52$]} \right)$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$]}$である．