平面上に$\text{OA} \perp \text{AP},\ \text{OB} \perp \text{BP}$を満たす四角形OAPBがある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$と表すと，
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．

(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．

一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3$等分した点を，点$\mathrm{A}$に近い方から$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．また点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=l \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を満たすものとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$が線分$\mathrm{BE}$上にあるとき$l$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき面積比$\triangle \mathrm{EOF}:\triangle \mathrm{BDF}$を求めよ．

$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}=60^\circ$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，また線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$として，次の設問に答えよ．

(1)$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$と三角形$\mathrm{DCE}$の面積比を求めよ．