「面積比」について
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私立 北星学園大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と三角形の外部にある点$\mathrm{O}$を結ぶ各直線が，三角形の対辺またはその延長上と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{O}$は三角形の辺上にも，その延長上にもないものとする．
（図は省略）
(1)三角形の面積比$\triangle \mathrm{AOB}:\triangle \mathrm{AOC}$および$\triangle \mathrm{BOC}:\triangle \mathrm{BOA}$を線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{CP}$，$\mathrm{AQ}$，$\mathrm{CQ}$の長さを用いて求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OR}}=1$となることを証明せよ．
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AR}=4$，$\mathrm{CP}=3$のとき，比$\mathrm{RO}:\mathrm{CO}$を求めよ．
（図は省略）
(1)三角形の面積比$\triangle \mathrm{AOB}:\triangle \mathrm{AOC}$および$\triangle \mathrm{BOC}:\triangle \mathrm{BOA}$を線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{CP}$，$\mathrm{AQ}$，$\mathrm{CQ}$の長さを用いて求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OR}}=1$となることを証明せよ．
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AR}=4$，$\mathrm{CP}=3$のとき，比$\mathrm{RO}:\mathrm{CO}$を求めよ．
私立 上智大学 2014年 第2問$\angle \mathrm{A}$が鋭角で$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{AC}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．
(1)面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=[コ]:[サ] \]
である．
(2)線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=[シ]:[ス] \]
である．
(3)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$，$\mathrm{BC}=[タ] \sqrt{[チ]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ト]$であり，内接円の半径は$\sqrt{[ナ]}-[ニ]$である．
(1)面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=[コ]:[サ] \]
である．
(2)線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=[シ]:[ス] \]
である．
(3)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$，$\mathrm{BC}=[タ] \sqrt{[チ]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ト]$であり，内接円の半径は$\sqrt{[ナ]}-[ニ]$である．
公立 名古屋市立大学 2014年 第2問空間に四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，
\[ \begin{array}{l}
4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
4 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{QB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{QC}}+7 \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}
\end{array} \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PAB}$と三角形$\mathrm{PBC}$の面積比を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{QBCD}$の体積比を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
4 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{QB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{QC}}+7 \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}
\end{array} \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PAB}$と三角形$\mathrm{PBC}$の面積比を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{QBCD}$の体積比を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2014年 第2問空間に四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，
\[ \begin{array}{l}
4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
4 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{QB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{QC}}+7 \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}
\end{array} \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PAB}$と三角形$\mathrm{PBC}$の面積比を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{QBCD}$の体積比を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
4 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{QB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{QC}}+7 \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}
\end{array} \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PAB}$と三角形$\mathrm{PBC}$の面積比を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{QBCD}$の体積比を求めよ．
私立 安田女子大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)半径$2$の円に内接する正六角形$P$と外接する正六角形$Q$がある．$P$と$Q$の面積比を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)半径$2$の円に内接する正六角形$P$と外接する正六角形$Q$がある．$P$と$Q$の面積比を求めよ．
国立 徳島大学 2011年 第3問平面上に$\triangle$ABCと点Pがある．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点Pが$\triangle$ABCの周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \text{PAB}:\triangle \text{PBC}:\triangle \text{PCA}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点Pが$\triangle$ABCの周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \text{PAB}:\triangle \text{PBC}:\triangle \text{PCA}$を求めよ．
国立 徳島大学 2011年 第2問平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$がある．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \mathrm{PAB}:\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \mathrm{PAB}:\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}$を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第1問平面上に一辺の長さが1の正三角形OABと，辺AB上の点Cがあり，$\text{AC}<\text{BC}$とする．点Aを通り直線ABに直交する直線$k$と，直線OCとの交点をDとする．$\triangle$OCAと$\triangle$ACDの面積比が$1:2$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$m,\ n$を求めよ．
(2)点Dを通り，直線ODと直交する直線を$\ell$とする．$\ell$と直線OA，OBとの交点をそれぞれE，Fとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$m,\ n$を求めよ．
(2)点Dを通り，直線ODと直交する直線を$\ell$とする．$\ell$と直線OA，OBとの交点をそれぞれE，Fとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第2問$\triangle$ABCの頂点を通らない直線$\ell$が，辺AC，辺BCのB方向への延長線，および辺ABと，それぞれ点P，Q，Rで交わり，
\[ \text{AP}:\text{PC}=\alpha:1,\quad \text{CQ}:\text{QB}=\beta:1 \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ．
(2)$\triangle$QRB，$\triangle$BCR，$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき，$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ．
(3)(2)のとき，直線CRと直線AQの交点をDとする．線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ．
\[ \text{AP}:\text{PC}=\alpha:1,\quad \text{CQ}:\text{QB}=\beta:1 \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ．
(2)$\triangle$QRB，$\triangle$BCR，$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき，$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ．
(3)(2)のとき，直線CRと直線AQの交点をDとする．線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ．
国立 大分大学 2010年 第3問平面上に$\text{OA} \perp \text{AP},\ \text{OB} \perp \text{BP}$を満たす四角形OAPBがある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$と表すと，
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．