行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \ $(ただし$b \neq 0$)が，ある自然数$k \geqq 3$に対して$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，それを$a,\ b,\ p$で表せ．

ある自然数$k \geqq 3$に対して行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \ $（ただし$b \neq 0$）が，$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，逆行列を$a,\ b,\ p$で表せ．

単位行列$E$の実数倍ではない行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．$A$で表わされる$xy$平面上の移動を$f$とする．

(1)$A^2=kE$を満たす実数$k$が存在するための必要十分条件は，$a+d=0$であることを示せ．
(2)$a+d=0$のとき，原点Oとは異なる点Pで，$f(P)$が直線OP上にあるものが存在すれば，$a^2+bc \geqq 0$であることを示せ．
(3)$a+d=0$かつ$a^2+bc \geqq 0$であるとする．このとき$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおけば，$(A-\lambda E)(A+\lambda E)=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は零行列とする．
(4)(3)の仮定のもとで，$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおく．原点Oとは異なる点Pで，$\text{Q}=f(P)$とすれば，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となるものが存在することを示せ．

$A,\ B,\ C$が同じ次数の正方行列で，$A+B+C=O$かつ$AB=BC=CA$が成り立つとき，次の等式を証明せよ．ただし，$O$は零行列である．

(1)$A^2=B^2=C^2$
(2)$BA=CB=AC$
(3)$ABC=CBA$